変圧器の効率とV結線・並行運転

種明かしは、鉄損と銅損という性質の違う2つの損失、そして電圧比と%インピーダンスという 2つの一致条件にある。

効率 — 鉄損と銅損が釣り合う負荷率で最大になる

変圧器の損失は大きく2種類に分けられる。

• 鉄損（無負荷損） — 鉄心を磁化することで生じる損失（ヒステリシス損・うず電流損）。 一次電圧が一定であれば、負荷の大小に関係なくほぼ一定の値で発生し続ける。
• 銅損（負荷損） — 巻線の抵抗によるジュール熱。負荷電流の2乗に比例して増減する。

効率は「出力÷（出力＋損失の合計）」で求まる。

ここで $P_i$ は鉄損、$P_c$ は銅損。銅損は負荷率 $m$（定格に対する負荷の割合）の2乗に 比例して変化するため、$P_c = m^2 \times P_{c(\text{定格})}$ と表せる。

例題

出力4000W、鉄損100W、銅損100Wで運転している変圧器の効率は何%か。

定格負荷時の鉄損が $P_i$、定格負荷時の銅損が $P_{c(\text{定格})}$ であるとき、 効率が最大になる負荷率 $m$ は、$P_i = m^2 \times P_{c(\text{定格})}$ を解いて求まる。

鉄損100W、定格負荷時の銅損400Wの変圧器なら、$m=\sqrt{100/400}=\sqrt{0.25}=0.5$、 つまり定格の50%の負荷で運転しているときに効率が最大になる。

力率が変わると、効率も変わる — 損失は一定、出力だけが力率に応じて動く

ここまでは「負荷率$m$（定格に対する電流の割合）が変わると効率がどう動くか」を見てきた。 では、負荷率（電流の大きさ）は変えずに、力率だけが変わったらどうなるか。

同じ電流が流れている限り、鉄損も銅損もほぼ変わらない——損失は電流の大きさで決まり、 力率にはほぼ関係しないからだ。一方で、変圧器が実際に送り出す出力（有効電力）は 皮相電力に力率$\cos\varphi$をかけた値であり、力率が下がれば出力もそのまま比例して 下がる。つまり効率の式$\eta = P_{\text{出力}}/(P_{\text{出力}}+P_i+P_c)$のうち、 分母（損失）は据え置きのまま、分子（出力）だけが力率に応じて小さくなるため、 力率が下がると効率も下がる。

例題（自作の数値例）

ある変圧器の全負荷力率100%における全負荷効率は96%である。全負荷力率75%における 全負荷効率を求める。

全負荷力率100%のとき、出力を基準値100とすると、

全負荷力率75%でも、流れる電流の大きさ（＝全負荷）は変わらないため損失は同じ4.17の まま。出力だけが力率に比例して75に変わる。

巻線抵抗の温度換算 — 規約効率を「同じ土俵」で比較するために

変圧器の巻線抵抗は、測定した瞬間の温度によって値が変わる。抵抗体（銅）は温度が上がるほど抵抗値が大きくなる性質を持つため、真夏に測った抵抗値と真冬に測った抵抗値は、同じ変圧器でも異なる値になってしまう。これでは異なる変圧器どうしの効率を公平に比較できないため、規約効率を計算する際は、巻線抵抗の値を基準温度（銅巻線の場合は75℃）に補正してから使うと定められている。

温度$T$[℃]における抵抗値と、温度$t$[℃]における抵抗値の比は、次の式で表される（銅導体の場合）。

例題（自作の数値例）

ある変圧器の巻線の温度と抵抗値を測ったところ、20℃のとき2.0Ωであった。この巻線を規約効率計算の基準温度である75℃に補正した抵抗値を求める。

補正の向き（分子・分母のどちらに75、どちらに20を置くか）を迷ったら、「温度が上がれば抵抗値も大きくなるはず」という不等号の向きで検算する。20℃から75℃（高温側）へ補正するのだから、答えは元の2.0Ωより大きくなっていなければならない。

電圧変動率 — 無負荷時と全負荷時で、電圧はどれだけ変わるか

変圧器に負荷をかけると、巻線の抵抗・漏れリアクタンスによる電圧降下のぶんだけ、二次側の 端子電圧は無負荷時よりわずかに低下する（力率によっては上昇することもある）。この 変化の割合を電圧変動率$\varepsilon$という。

厳密な計算には等価回路の抵抗・リアクタンスと負荷電流の位相関係を追う必要があるが、 実務では次の近似式で済ませることが多い。

• $p$：百分率抵抗降下。定格電流を流したときの巻線抵抗による電圧降下を、定格電圧に対する 割合[%]で表したもの。全負荷時の銅損$P_c$と定格容量$P_n$から $p=(P_c/P_n)\times100$ で求まる
• $q$：百分率リアクタンス降下。漏れリアクタンスによる電圧降下を、同じく定格電圧に 対する割合[%]で表したもの
• $\varphi$：負荷の力率角（力率$\cos\varphi$に対応する角度）

例題（自作の数値例）

定格容量300kV・Aの単相変圧器があり、力率1.0の全負荷における全負荷銅損が4.5kWだった。

力率1.0なので$\sin\varphi=0$、電圧変動率は$\varepsilon\approx p=1.5\%$。

力率が1.0でない場合は、$q\sin\varphi$の項も足し合わせる必要がある。百分率抵抗降下 $p=2\%$、百分率リアクタンス降下$q=4\%$の変圧器に、力率0.8（遅れ、$\cos\varphi=0.8$、 $\sin\varphi=0.6$）の定格負荷を接続したときは、

V結線 — 単相変圧器2台で三相を作ると、出力は「2台分」にはならない

単相変圧器を3台使ってΔ（デルタ）結線にすれば、三相の出力容量は単純に「1台の容量×3」 になる。ところが、Δ結線の1台が故障・保守などで使えないとき、残った2台をV字型に つなぐだけで、電圧・位相が正しい三相電源を作り続けることができる——これがV結線だ。

ただしV結線の出力容量は、2台の合計容量（1台の容量×2）にはならない。電圧・電流の 位相関係から、実際に取り出せる三相出力は次の式になる。

$P_1$ は単相変圧器1台の容量。2台の合計容量 $2P_1$ に対する比率（利用率）は $\sqrt{3}/2 \approx 0.866$、つまり2台の設備を持ちながら、その86.6%しか 実際には使い切れない。

例題

定格容量50kVAの単相変圧器2台をV結線したときの三相出力容量は何kVAか。

三相三巻線変圧器 — 三次巻線で無効電力を肩代わりする

これまで見てきた変圧器は一次・二次の2つの巻線だけを持つ構造だったが、三相三巻線変圧器は これに加えて三次巻線（多くは△結線）を持つ。三次巻線には、調相設備（進相コンデンサや 分路リアクトル）や所内の低圧負荷などを接続できる。

三次巻線に進相コンデンサを接続すると、二次側の誘導性負荷が必要とする遅れ無効電力の 一部を、三次側のコンデンサが供給する進み無効電力で肩代わりできる。二次側と三次側の 無効電力が打ち消し合う結果、一次側から見た無効電力・電流が小さくなる——これは、 前のトピックで見た「同期調相機（過励磁の同期電動機）」が力率改善に使われるのと同じ発想が、 変圧器の三次巻線という形で実現されているものだ。

漏れインピーダンス・励磁電流・損失を無視できる場合、一次電流は次の手順で求める。

1. 二次側の負荷から、有効電力$P_2$と無効電力$Q_2$を求める
2. 三次側のコンデンサが供給する無効電力$Q_3$を、$Q_2$から差し引く（三次側は進み＝符号が逆）
3. 一次側の皮相電力 $S_1=\sqrt{P_2^2+(Q_2-Q_3)^2}$（損失がないので有効電力はP1=P2のまま）
4. 一次電流 $I_1 = S_1/(\sqrt3 \times V_1)$（三相・線間電圧の場合）

例題（自作の数値例）

一次線間電圧66kVの三相三巻線変圧器の二次巻線に、力率0.6（遅れ）、5000kV・Aの三相誘導性 負荷を接続し、三次巻線に2000kvarの三相コンデンサ（進み無効電力を供給）を接続した。 漏れインピーダンス・励磁電流・損失を無視できるとき、一次電流を求める。

三次側のコンデンサが遅れ無効電力の一部を肩代わりした分、一次側の無効電力（したがって 一次電流）が小さく抑えられていることが、この計算からも確認できる。

並行運転 — 4つの条件がそろわないと、片方だけが過負荷になる

変圧器の容量が足りないとき、複数台を並列につないで容量を増やす（並行運転）ことがある。 ただし、どんな変圧器同士でも並べればよいわけではなく、次の条件がそろっている必要がある。

1. 極性が一致していること — 逆に接続すると、大きな循環電流（横流）が流れてしまう
2. 巻数比（電圧比）が等しいこと — 一致していないと、電圧差によって循環電流が流れる
3. %インピーダンスが等しいこと — 一致していないと、負荷が容量に比例した形で分担されない
4. （三相の場合）相回転と位相が一致していること

このうち特に見落とされやすいのが3番目だ。電圧比が完全に一致していても、 %インピーダンスが異なると、%インピーダンスの小さい変圧器のほうに電流が集中しやすく、 その変圧器だけが先に過負荷になってしまう。容量の異なる変圧器同士を並行運転させる場合は、 「容量比」ではなく「%インピーダンスが等しいこと」を優先して確認する必要がある。

巻数比のわずかな差が生む循環電流 — 無負荷でも流れ続ける横流を計算する

条件2（巻数比の一致）が「崩れたときに何が起きるか」を、実際に計算できるところまで 掘り下げておこう。2台の変圧器の巻数比が完全に一致していれば、二次側を無負荷にした とき、両者の起電力は等しく、電位差はゼロになる。だが実際の変圧器には製造上のわずかな 誤差があり、巻数比がほんの少しだけ違うことがある。

このとき、二次側を無負荷にしても、2台の変圧器の起電力には差ΔEが生まれる。2台の 二次巻線どうしをつなぐと、このΔEを打ち消す向きに、2台の巻線間を貫く閉じたループの 中を電流が流れ続ける。これが循環電流（横流）だ。ΔEは、2台の変圧器の二次側換算 インピーダンス$Z_1$・$Z_2$が直列に並んだ、この閉じたループ全体に加わっている。

例題（自作の数値例）

巻数比がわずかに異なる単相変圧器A・Bを並列接続し、二次側を無負荷として一次側に 定格電圧を加えたところ、二次側換算で0.60Vの起電力差が生じた。変圧器A・Bの二次側換算 インピーダンスがそれぞれ0.04Ω、0.02Ωのとき、二次巻線間を循環して流れる電流は、

受変電設備での実務的な意味

小規模な需要家では単相変圧器1台の運用が基本だが、負荷が大きい設備や、故障時にも 三相電源を止められない設備では、V結線での応急運転や、複数台の並行運転が実際に 検討される。このとき「容量が足りるか」だけでなく、「V結線なら容量は√3倍にしかならない」 「並行運転させるなら%インピーダンスの銘板値を確認する」という、このトピックで見た 数字の裏付けが必要になる。

冒頭のキュービクルで見た2台構成の変圧器——答え合わせは理解度チェックの最後の問題で してみよう。