キルヒホッフの法則

種明かしは、電気が帳簿を絶対にごまかさないという性質にある。ドイツの物理学者 キルヒホッフが整理した2つの法則——電流則（KCL）と電圧則（KVL）——は、 どんなに複雑な回路網でも必ず成り立つ、いわば電気の「複式簿記」だ。

電流則（KCL）— 節点では、入りと出が必ず一致する

配線が分岐する点（節点）では、そこに流れ込む電流の合計と、そこから流れ出す電流の合計が 必ず等しい。

考えてみれば当たり前のことだ。電流は「その場に溜まる」ということがない。1本の水道管が 枝分かれしていて、入ってきた水の量より多くの水が出ていく、ということはあり得ないのと同じだ。 だが当たり前だからこそ、この法則は電源がいくつあっても、抵抗がどんな配置でも、 例外なく成り立つ。

例題

ある節点に、2Aと3Aの電流が流れ込み、1本の枝から電流 $I_x$ が流れ出している。他に流れ出す枝が ないとき、$I_x$ はいくらか。

電圧則（KVL）— ループを1周すると、電位は必ず出発点に戻る

もう1つの法則は、閉じたループ（電流が一周して戻ってくる経路）に注目する。ループを1周たどると、 電源の起電力の合計は、通過した抵抗での電圧降下の合計と必ず等しくなる。

これも当たり前のことの言い換えだ。ループを1周してもとの場所に戻ってきたなら、電位（高さ）も 出発したときと同じ場所に戻っているはずだ。途中で電源によって電位が持ち上げられた分は、 どこかの抵抗で必ず電圧降下として使い切られている。

例題

起電力10Vの電源1つと、抵抗2Ω・3Ωが直列に接続された単純なループがある。このとき、

が成り立つ。これは分圧の法則で見た関係と、実は同じことを言っている。分圧の法則は、 KVLを直列回路という特別な場合に当てはめて導いた「近道の公式」にすぎない。

複雑な回路網の解き方 — 節点と閉路の数を数える

電源が複数ある回路網では、次の手順で連立方程式を立てる。

1. 各枝の電流に、仮の向きを矢印で決める
2. 節点の数から1を引いた数だけ、KCLの式を立てる（節点がn個なら、独立な式はn-1個。最後の1つは残りから自動的に導けるため、律儀に全節点分を立てると式が余る）
3. 残りの未知数の数だけ、独立な閉路をたどってKVLの式を立てる
4. 連立方程式を解く

節点が2つ、未知の枝電流が3本ある回路なら、KCLで1本、KVLで2本の式を立てれば、 3元連立方程式が解ける——という具合に、必要な式の数は回路の構造から機械的に決まる。

接点電位法（ノード電圧法） — 各接点の電位を未知数にする、もう1つの解き方

枝電流法（ここまで見てきた、各枝の電流を未知数にしてKCL・KVLを連立させる方法）以外にも、 複雑な回路網を解く手段がある。接点電位法（ノード電圧法）は、各枝の電流ではなく 各接点（ノード）の電位を未知数に選び、KCL（電流則）だけで連立方程式を立てる方法だ。

ブリッジ回路（4本の抵抗がひし形に接続され、対角線上にもう1本の抵抗が渡された回路）のように、 単純な分圧・分流や直並列変換では手に負えない回路網でも、接点電位法なら機械的に解ける。

考え方 — 基準点（0V）を決め、各接点の電位を未知数にする

1. 回路網の中から1つの接点を選び、電位の基準（0V）とする。
2. 残りの各接点の電位を、未知数（$V_1$、$V_2$…）とする。
3. 各接点について、そこに流れ込む電流の合計と流れ出す電流の合計が等しい（KCL）という式を 立てる。このとき、各枝の電流は「（枝の両端の電位差）÷（枝の抵抗）」で、未知数である 接点電位を使って表す。
4. 連立方程式を解いて各接点の電位を求め、そこから各枝の電流を逆算する。

枝電流法が「電流を先に未知数にして、電位はその結果として求まる」のに対し、接点電位法は 「電位を先に未知数にして、電流はその結果として求まる」——主役が入れ替わっている、と対比 させて覚えるとよい。

簡単な例 — 3接点の回路で考える

節点a・節点b・接地点（基準、0V）の3つの接点を持つ回路を考える。節点aは、抵抗$R_1$=2Ωを 通じて起電力$E$=12Vの電源のプラス端子に、抵抗$R_3$=4Ωを通じて節点bに、それぞれつながって いる。節点bは、抵抗$R_3$=4Ωを通じて節点aに、抵抗$R_2$=4Ωを通じて接地点に、それぞれ つながっている（電源のマイナス端子は接地点に接続）。

節点aの電位を$V_a$、節点bの電位を$V_b$とすると、それぞれの節点でKCLの式（流入＝流出）を 立てる。

節点aでは、電源側から流れ込む電流$(E-V_a)/R_1$が、節点bへ流れ出す電流$(V_a-V_b)/R_3$に 等しい。

節点bでは、節点aから流れ込む電流$(V_a-V_b)/R_3$が、接地点へ流れ出す電流$V_b/R_2$に等しい。

数値を代入して整理すると（$E=12$、$R_1=2$、$R_2=4$、$R_3=4$）、

2つ目の式を1つ目に代入すると、$3(2V_b)-V_b=24$より$5V_b=24$、$V_b=4.8$V、$V_a=9.6$V。 ここから、各枝の電流も電位差÷抵抗で求められる。

過去問の型で解く——二つの電源と三つの抵抗

キルヒホッフの計算問題は、「2つの電源と3つの抵抗が、2つの節点の間に3本の枝として並列につながっている。各枝の電流を図の向きに定めるとき、電流 $I_1,I_2,I_3$ の値の組合せを選べ」という型の問題がある。選択肢が3つの電流の組合せなので、解く手順と検算を決めておくと速い。数値は自作の例で確認する。

例題

電源 $E_1=18\text{V}$ と抵抗 $R_1=2\Omega$ の直列の枝、電源 $E_2=9\text{V}$ と抵抗 $R_2=3\Omega$ の直列の枝、抵抗 $R_3=6\Omega$ の枝が、上下2つの節点の間に並列につながっている（$E_1$・$E_2$ の＋側は、どちらも上の節点の側）。電流は、$I_1$ を $E_1$ の枝から上の節点へ、$I_2$ を $E_2$ の枝から上の節点へ、$I_3$ を上の節点から $R_3$ を通って下の節点へ向かう向きに定める。$I_1,I_2,I_3$ を求めよ。

手順1：KCLを1本。 上の節点で、流れ込む電流の和が流れ出す電流に等しい。

手順2：KVLを2本。 左の閉路（$E_1$→$R_1$→$R_3$）と、右の閉路（$E_2$→$R_2$→$R_3$）を、それぞれ電流の向きにたどる。

手順3：$I_3$ を消去する。 $I_3=I_1+I_2$ を代入して整理する。

1本目の式を3倍すると $54 = 24I_1 + 18I_2$、2本目の式を2倍すると $18 = 12I_1 + 18I_2$。この2本を引くと $36 = 12I_1$ より $I_1=3\text{A}$。1本目に戻して $18 = 24 + 6I_2$ より $I_2=-1\text{A}$、$I_3 = 3+(-1) = 2\text{A}$。

検算：接点電位法。 上の節点の電位を $V$（下の節点を0V）として、KCLだけで解く。

$I_3=12/6=2\text{A}$、$I_1=(18-12)/2=3\text{A}$、$I_2=(9-12)/3=-1\text{A}$。枝電流法の結果と一致する。

$I_2$ がマイナスになったのは、$E_2$ の枝では、定めた向き（＋側から流れ出す向き）と逆に、電流が $E_2$ の＋端子へ流れ込んでいるということだ。この電源は電力を出すのではなく、$9\times1=9\text{W}$ を受け取る側（充電される側）になっている。

なぜ「帳簿」という比喩がふさわしいのか

電材を扱う仕事をしていれば、入庫と出庫、仕入と払出の帳簿が必ず一致することは体で分かっている はずだ。数量が合わなければ、どこかに記帳漏れか誤りがある——それは会計の話であって、 電気とは無関係に思えるかもしれない。

だが電流則が言っているのは、まさに同じ構造の話だ。節点という「窓口」に出入りする電流は、 必ず帳尻が合う。 合わないように見えたら、見落としている枝があるか、向きを取り違えているか、 そのどちらかだ。電圧則も同じで、ループを1周した電位の変化は必ずゼロに戻る——出発した支店に、 最後は必ず戻ってくる巡回ルートのようなものだ。

制御盤の配線図を前にして「どこから手をつければいいか分からない」となったとき、 このキルヒホッフの2法則に立ち返れば、複雑さの度合いに関係なく、必ず解く道筋が見えてくる。

冒頭で出した「電源が2つ、枝が3本以上ある回路網」の解き方——答え合わせは理解度チェックの 最後の問題でしてみよう。