三相交流とY-Δ

種明かしは、三相交流の3つの電圧（電流）が、120°ずつ位相がずれた状態で「同時に」流れている、という点にある。単純に3倍にならないのは、位相がずれたベクトルを合成しているからだ。

Y結線（スター結線）——電圧に√3がつく

Y結線は、3つの巻線（相）の一端をすべて1点（中性点）に集めた結線方式だ。相電圧 $V_p$ は、各巻線の両端——つまり線と中性点の間——の電圧を指す。線間電圧 $V_l$ は、120°位相がずれた2つの相電圧をベクトルで合成した値になる。

線と巻線が1本ずつそのままつながっているため、線電流と相電流は等しい。

例題

Y結線で、相電圧が200Vのとき、線間電圧を求めよ。

Δ結線（三角結線）——電流に√3がつく

Δ結線は、3つの巻線を輪（三角形）につないだ結線方式で、中性点を持たない。各巻線はそのまま線と線の間に接続されるため、相電圧と線間電圧は等しい。線電流 $I_l$ は、120°位相がずれた2つの相電流をベクトルで合成した値になる。

例題

Δ結線で、線電流が10Aのとき、相電流（各巻線を流れる電流）を求めよ。

三相電力の公式——結線方式によらず同じ式で計算できる

三相の消費電力は、線間電圧と線電流を使えば、結線方式によらず同じ式で求められる。

なぜY結線でもΔ結線でも同じ式になるのか。1相あたりの電力を3相分足し合わせて確認してみる。

Y結線：$P = 3 V_p I_p \cos\theta = 3\times\dfrac{V_l}{\sqrt{3}}\times I_l \times\cos\theta = \sqrt{3}V_l I_l\cos\theta$

Δ結線：$P = 3 V_p I_p \cos\theta = 3\times V_l\times\dfrac{I_l}{\sqrt{3}}\times\cos\theta = \sqrt{3}V_l I_l\cos\theta$

Y結線は電圧側の√3が、Δ結線は電流側の√3が、それぞれ式の中で同じように効いてきて、最終的にどちらも同じ$\sqrt{3}V_lI_l\cos\theta$という形に落ち着く。結線方式を意識せず、線間電圧と線電流さえ分かれば三相電力を計算できるのはこのためだ。

二電力計法——単相電力計2台だけで、三相電力を測る

三相電力を測るには専用の三相電力計を使うのが確実だが、中性線を持たない3線式の三相回路 なら、単相の電力計を2台だけ使う二電力計法でも全消費電力を測定できる。

2台の電力計 $W_1$、$W_2$ を回路に正しく接続すると、それぞれが三相電力の一部を分担して 指示する。三相全体の消費電力 $P$ は、この2台の指示値の和に等しい。

ただし、負荷の力率が0.5（位相差60°）を下回るような場合、片方の電力計の指針が 逆振れ（マイナス方向に振り切れて指示できない状態）を起こすことがある。この場合は、 逆振れした電力計だけ電圧端子（または電流端子）の極性を反転させて指示値を読み取り、 その値はマイナスの指示として扱う。

ここでは、$W_1$、$W_2$ を符号付きの指示値（逆振れ側の $W_2$ は負の値）とし、$|W_2|$ を、極性を反転して読んだ正の指示値（大きさ）と書き分けている。符号付きの値で書けば、上の式は $P=W_1+W_2$（$W_2$ は負）という足し算と同じ内容だ。問題文の「$W_2$」が「反転後に読んだ正の値」なのか「符号付きの値」なのかは問題ごとに異なるので、先に確かめてから、足すか引くかを決める。

例題

二電力計法で測定したところ、2台の電力計がともに正常に振れ、$W_1=800\text{W}$、 $W_2=200\text{W}$ を示した。三相回路の全消費電力を求めよ。

別の例では、電力計 $W_2$ の指針が逆振れしたため、電圧端子の極性を反転して測定し直したところ $150\text{W}$（$|W_2|=150\text{W}$、符号付きの $W_2=-150\text{W}$）を示した。もう一方の $W_1$ は $600\text{W}$ だった場合、全消費電力を求めよ。

Δ負荷をY負荷に換算する——線電流が1/3になる導出

三相の問題では、「Δ接続の負荷を等価なY接続に直す」と「同じ負荷をΔからYへつなぎ替える」の2つが混ざって出てくる。この2つは別の操作なので、先に区別しておく。

①等価変換（電源から見た電流を変えない、見かけの置き換え）

線間電圧を $V$ とする。Δ接続の各相のインピーダンスを $Z_\Delta$ とすると、各相にそのまま $V$ がかかるので相電流は $V/Z_\Delta$、線電流はその $\sqrt{3}$ 倍になる。

これと同じ線電流を流すY接続を考える。Y接続の各相には相電圧 $V/\sqrt{3}$ がかかり、線電流は相電流に等しい。Y接続の各相のインピーダンスを $Z_Y$ とすると、

$I_\Delta = I_Y$ とおいて整理する。

Δ接続の負荷は、各相のインピーダンスを1/3にしたY接続と等価になる。インピーダンスが3つとも同じでない一般の場合の変換式 $Z_a = Z_{ab}Z_{ca}/(Z_{ab}+Z_{bc}+Z_{ca})$ に、3つとも $Z_\Delta$ を代入しても同じ結果（$Z_\Delta^2/3Z_\Delta = Z_\Delta/3$）になる。

②組替え（同じ部品をつなぎ替える。電流は変わる）

同じ3つのインピーダンス $Z$ を、Δ接続からY接続につなぎ替える場合は、等価なY（$Z/3$）にはならず、$Z$ のままのY接続になる。同じ線間電圧のもとで比べると、

力率 $\cos\theta$ は結線を替えても変わらないので、$P=\sqrt{3}\,V I\cos\theta$ も線電流に比例して1/3になる。この後の「実務との接点」で扱うY-Δ始動の「1/3」は、この組替えの特別な場合だ。

例題

各相が15Ωの抵抗である平衡三相負荷を、線間電圧200Vの電源につなぐ。

Δ接続のとき、相電流は $200/15 \approx 13.3\text{A}$、線電流は $\sqrt{3}\times13.3 \approx 23.1\text{A}$、消費電力は

この負荷と等価なY接続の1相の抵抗は $15/3=5\Omega$。確かめると、線電流は $(200/\sqrt{3})/5 \approx 23.1\text{A}$ で、Δ接続のときと一致する。

一方、同じ15Ωの抵抗3個をY接続につなぎ替えると、線電流は $200/(\sqrt{3}\times15)\approx7.7\text{A}$、消費電力は

Δ接続コンデンサによる三相の力率改善——容量計算の例題

三相負荷の力率改善でも、考え方は単相（前のトピックの力率改善）と同じだ。コンデンサが出す進みの無効電力を、負荷の遅れ無効電力にそろえればよい。違うのは、コンデンサを3個使い、その結線（ΔかY）で1個あたりにかかる電圧が変わる点だけである。

コンデンサ1個の無効電力は、かかる電圧を $V_c$ とすると $\omega C V_c^2$。線間電圧を $V$ とすると、

同じ無効電力を出すなら、Y接続のコンデンサはΔ接続の3倍の容量が必要になる（$C_Y = 3C_\Delta$）。これは前の節の等価変換 $Z_Y = Z_\Delta/3$（コンデンサのリアクタンスが1/3 ＝ 容量が3倍）と同じ関係だ。

必要な無効電力は、力率改善の公式（改善前後の力率角を $\varphi_1$、$\varphi_2$ として）で求める。

例題

線間電圧200V、周波数50Hzの平衡三相負荷が、有効電力9kW、力率0.6（遅れ）で運転している。1相あたり静電容量 $C$ のコンデンサ3個をΔ接続して負荷に並列に接続し、力率を1にしたい。$C$ を求めよ。

力率0.6なので $\tan\varphi_1 = 0.8/0.6 = 4/3$。力率1にするのだから $\tan\varphi_2=0$。

Δ接続なので $Q_c = 3\omega C V^2$ より、

確かめとして線電流を比べる。改善前は $9000/(\sqrt{3}\times200\times0.6)\approx43.3\text{A}$、改善後は力率1なので $9000/(\sqrt{3}\times200)\approx26.0\text{A}$。有効電力は変わらず、電源から見た電流だけが約40%減る。同じコンデンサ3個をY接続にした場合は $C=12000/(\omega V^2)\approx955\mu\text{F}$ が必要で、Δ接続の3倍になる。

二電力計法の力率——tanφ=√3(W₁−W₂)/(W₁+W₂)

二電力計法は、2台の指示値の和が三相電力になるだけではない。負荷が平衡していれば、2台の指示値の差から無効電力も、力率の位相角も求められる。

平衡負荷の力率角を $\varphi$（遅れ）、線間電圧・線電流をそれぞれ $V$・$I$ とする。結線図どおりに2台を接続したとき、遅れ負荷では2台の指示値が次のように書ける（大きい方を $W_1$ とする）。

加法定理で和と差を作る。

和は三相の有効電力 $P=\sqrt{3}VI\cos\varphi$ そのものだ。差に $\sqrt{3}$ を掛けると三相の無効電力 $Q=\sqrt{3}VI\sin\varphi$ になる。

$P^2+Q^2=S^2$ から、力率を直接書くと $\cos\varphi = (W_1+W_2)/\{2\sqrt{W_1^2+W_2^2-W_1W_2}\}$ になる。これらの式は平衡負荷に限る。不平衡の回路では有効電力 $P=W_1+W_2$ は成り立つが、無効電力の式は成り立たない。

例題

平衡三相の遅れ負荷を二電力計法で測定したところ、$W_1=2000\text{W}$、$W_2=1000\text{W}$ を示した（ともに正常に振れた）。有効電力・無効電力・力率を求めよ。

$\tan\varphi=1/\sqrt{3}$ なので $\varphi=30^\circ$、力率は $\cos30^\circ\approx0.866$。

力率が0.5（$\varphi=60^\circ$）を下回ると $W_2=VI\cos(30^\circ+\varphi)$ が負になり、$W_2$ が逆振れする。このとき、極性を反転して読んだ値（正）が $|W_2|$ なら、符号付きの値は $W_2=-|W_2|$ で、これを式にそのまま代入する。たとえば $W_1=1500\text{W}$、$|W_2|=500\text{W}$ なら、

$\cos\varphi = 1/\sqrt{1+\tan^2\varphi} = 1/\sqrt{13}\approx0.277$。

過去問の型で解く——結線の組替えと電流・電力

三相の計算問題には、出題された型の一つとして、「Y（またはΔ）接続した平衡負荷の線電流を求める → 結線を替える、または同じ負荷にΔ接続のコンデンサをつないで力率を1にする → 電流や容量を求める」という2段構えのものがある。前半が結線の関係、後半が電力と力率改善の公式だ。数値は自作の例で型を確認する。

例題

各相のインピーダンスが $Z=8+j6\ \Omega$（抵抗8Ω、誘導性リアクタンス6Ω）の平衡三相負荷を、線間電圧200Vの対称三相電源に接続する。

(a) Δ接続のときの線電流を求めよ。(b) 消費電力を求めよ。(c) 同じ負荷をY接続につなぎ替えたときの消費電力を求めよ。

(a) 1相のインピーダンスの大きさは $|Z|=\sqrt{8^2+6^2}=10\Omega$。Δ接続では相電圧が線間電圧に等しいので、相電流は $200/10=20\text{A}$、線電流は

(b) 電力は各相の抵抗で消費される。

検算：力率 $\cos\theta=8/10=0.8$ から $P=\sqrt{3}\times200\times34.6\times0.8\approx9600\text{W}$。

(c) Y接続では相電圧が $200/\sqrt{3}\approx115.5\text{V}$、相電流（＝線電流）は $115.5/10\approx11.55\text{A}$。

線電流は $34.6/3\approx11.5\text{A}$、電力は $9600/3=3200\text{W}$ で、どちらもΔ接続の1/3になっている。

実務との接点——Y-Δ始動と変圧器の結線

三相誘導電動機の始動方式の1つに、Y-Δ始動がある。始動の瞬間だけ巻線をY結線にして相電圧を下げ、始動電流を抑えてから、運転時にΔ結線へ切り替えて全電圧で運転する方式だ。

なぜ線電流が減るのかを、式で確かめておく。電源の線間電圧を $V$、電動機の1相あたりのインピーダンスを $Z$ とし、始動時の $Z$ は結線を替えても変わらないものとして比べる。

Δ結線では、各巻線に線間電圧 $V$ がそのままかかる。相電流は $V/Z$、線電流は相電流の√3倍になる。

Y結線では、各巻線にかかる相電圧が $V/\sqrt{3}$ に下がる。相電流は $V/(\sqrt{3}Z)$ で、Y結線は線電流と相電流が等しい。

両者の比をとると、

となり、Y結線で始動すると、Δ結線のまま全電圧で始動した場合の線電流の1/3に抑えられる（巻線電圧が1/√3になる効果と、Y結線では線電流が相電流の√3倍にならない効果が、それぞれ1/√3として掛け合わさる）。たとえばΔ結線で全電圧始動すると線電流が60Aになる電動機なら、Y結線での始動電流は60/3＝20Aだ。なお、始動トルクも巻線電圧の2乗にほぼ比例して減るため、同じく約1/3になる。だから負荷が軽い状態で始動する用途に向く。

また、三相変圧器では一次側・二次側の結線をY結線・Δ結線の組み合わせで選ぶ（Y-Δ、Δ-Yなど）。結線の組み合わせによって一次・二次間の位相の変位や、中性点接地の可否が変わってくるため、系統設計や機器選定の場面でも、Y結線とΔ結線の違いを正しく理解しておくことが欠かせない。

冒頭の「線間電圧200V」の謎——答え合わせは、理解度チェックの最後の問題でしてみよう。