0Vから充電を始めたコンデンサの電圧は、時定数τがちょうど1回経過した時点で、最終的な電圧(定常値)の約何%に達しているか。

63.2%。充電時の電圧は V(t) = V₀(1-e^(-t/τ)) で表され、t=τを代入すると 1-e⁻¹ ≒ 0.632、つまり最終値の約63.2%に達する。

抵抗1kΩ、静電容量1000µFのRC回路で、電源電圧50Vにより0Vから充電を始めた。充電開始から2秒後の電圧はおよそいくらか。

約43V。時定数 τ = RC = 1000×1000×10⁻⁶ = 1秒。2秒後はt=2τにあたるので、V(2) = 50×(1-e⁻²) ≒ 50×0.865 ≒ 43V。約50Vは最終値そのものであり、まだ到達していない。

電圧V₀まで充電されたコンデンサを、抵抗を通して放電させ始めた。放電開始から時定数τがちょうど1回経過した時点で、コンデンサの電圧はV₀の約何%が残っているか。

36.8%が残っている。放電時の電圧は V(t) = V₀e^(-t/τ) で表され、t=τを代入すると e⁻¹ ≒ 0.368、つまり元の電圧の約36.8%まで下がる(63.2%減った、と言い換えてもよい)。63.2%は充電時に『到達』する割合であり、放電時に『残る』割合と取り違えやすい。

スイッチを閉じてから十分に時間が経過し、電圧・電流の変化が落ち着いた直流回路の定常状態において、回路中のコイルとコンデンサはそれぞれどう扱ってよいか。

コイルは短絡（ただの導線）、コンデンサは開放（電流を通さない）とみなせる。定常状態では電流・電圧の変化が止まっており、di/dt=0・dV/dt=0になる。コイルの誘導起電力e=L(di/dt)は0になるためただの導線（短絡）とみなせ、コンデンサに流れ込む電流I=C(dV/dt)は0になるため電流を通さない（開放）とみなせる。

図のような回路がある。電源電圧E=12V、R1=3Ω（電源・スイッチと直列）に続く節点から、R2=6Ωの抵抗が直接、もう一方でR3=3Ωとコンデンサ（初期電荷は0）が直列になった枝が、それぞれ並列に接続されている。スイッチを閉じた瞬間（t=0）に流れる電流をI0、十分時間が経過した定常状態で流れる電流をIとするとき、電流比I0/Iとして最も近いものはどれか。

1.8。t=0では初期電荷0のコンデンサは短絡とみなせるため、R2とR3が並列（6×3/9=2Ω）になり、全体の抵抗は R1+2=5Ω。I0=12/5=2.4A。t→∞ではコンデンサは開放とみなせるため、R3側の枝には電流が流れず、電流はR1とR2の直列（3+6=9Ω）だけを通る。I=12/9≒1.33A。I0/I=2.4/1.33≒1.8。0.56はI/I0（逆数）を計算してしまった場合の値であり、比を求める向きを取り違えている。

静電容量4μFのコンデンサが電圧100Vに充電されている。このコンデンサに抵抗50ΩとインダクタンスL=2Hを直列に接続した回路がある。スイッチを閉じてから十分に時間が経過し、コンデンサの電圧が最終的に0Vになった。この間に抵抗で消費された電気エネルギーはいくらか。

20mJ。この回路に外部電源はなく、コンデンサに蓄えられていた静電エネルギーだけがエネルギー源になる。初期エネルギーW=1/2×C×V²=1/2×4×10⁻⁶×100²=0.02J=20mJ。十分時間が経過すると、コンデンサの電圧は0V(蓄えるエネルギー0)、コイルの電流も0A(蓄えるエネルギー0)になるので、初期に蓄えられていた20mJはすべて抵抗で熱として消費されたことになる。LとCの間で電流が振動しながら流れても、外部から補充されるエネルギーがない以上、最終的な行き先は抵抗での消費だけである。

コイルとコンデンサが両方存在するRLC直列回路にスイッチを入れたときの過渡応答について、正しい説明はどれか。

Rの値によっては、電流や電圧が最終値を一旦超えてから振動的に収束する(オーバーシュートする)場合がある。コイルとコンデンサが両方存在する回路(2次系)では、抵抗Rが十分に大きい(制動が強い)場合はRC・RL回路と同じように単調に最終値へ近づくが、Rが小さい(制動が弱い)場合は、LとCの間でエネルギーがやり取りされながら振動し、電流・電圧が最終値を一旦超えてから収束する(オーバーシュート)。これはRとCだけの回路(1次系、τ=RCの指数関数だけで表せる)には現れない、LとCが両方そろって初めて起きる現象である。『RC回路の時定数の考え方をそのままRLC回路にも当てはめられる』と考えると、この振動的な挙動を見落とす。

理論・ 13 / 16

過渡現象（RL・RC回路）

読み終えると、こうなる

制御盤でスイッチを入れた瞬間や、タイマーが一定時間だけ遅れて動く仕組みを見たとき、時定数という1つの数値でその『間』の長さを説明できるようになる

RC回路(τ=RC)・RL回路(τ=L/R)それぞれの時定数を、抵抗値・静電容量・インダクタンスから計算できる
時定数の何倍の時間が経過すると電圧・電流が最終値の何%に達しているかを説明でき、充電(63.2%)と放電(36.8%)で意味の違いを区別できる
スイッチを入れた直後(t=0)と十分時間が経過した後(t→∞)のコンデンサ・コイルを、それぞれ短絡・開放のどちらとみなせるかを判断し、回路の初期電流・定常電流を求められる
コイルとコンデンサが両方存在するRLC回路では、抵抗の大小によって振動的な過渡応答(オーバーシュート)が起こりうることを理解し、外部電源がない場合はエネルギー保存則から抵抗で消費される総エネルギーを計算できる

考えてみよう

制御盤のタイマーリレーは、スイッチを入れてから一定時間が経つと接点が切り替わる。また、大きなモーターに電源を入れた瞬間、電流計の針は一気に振り切れるのではなく、ある大きさまで跳ね上がった後、じわじわと落ち着いていくように動く。

なぜ電気は「一瞬でパッと切り替わる」のではなく、「なめらかに変化する時間」を持つのか。そしてその「間」の長さは、何によって決まっているのか。

このトピックを読み終えるころには、スイッチを入れた瞬間の電圧・電流の変化のようすを見て、その「間」がどれくらいの長さになるかを、回路の定数から言い当てられるようになっている。

種明かしは、コンデンサやコイルが持つ「エネルギーを蓄える」という性質にある。これらの部品は、電圧や電流を一瞬で変化させることができず、必ず時間をかけて新しい状態に落ち着いていく。この落ち着くまでの過程を過渡現象、その速さの目安を 時定数と呼ぶ。

RC回路 — コンデンサの充電・放電と時定数

抵抗 $R$ とコンデンサ $C$ を直列につないだ回路にスイッチを入れると、コンデンサの電圧は 0Vから電源電圧 $V_0$ に向かって、次の式にしたがって変化する。

V(t) = V_0\left(1-e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = RC

$\tau$ (タウ)が時定数で、単位は秒になる。 $RC$ は $[\Omega]\times[\text{F}] = [\text{秒}]$ という次元になっており、この単位の一致は式を思い出す際の検算にも使える。

指数関数 $e^{-t/\tau}$ は、 $t$ が時定数の何倍かによって、次のように変化していく。

経過時間	最終値に対する到達率
$1\tau$	約63.2%
$2\tau$	約86.5%
$3\tau$	約95.0%
$5\tau$	約99.3%（実務上ほぼ完了とみなせる）

例題

抵抗5kΩ、静電容量200µFのRC回路の時定数はいくらか。

\tau = RC = 5000\Omega \times 200\times10^{-6}\text{F} = 1\text{秒}

時定数の意味を体になじませるには、「1τで63%、2τで87%、3τで95%、5τでほぼ100%」という数字の並びを覚えておくとよい。試験でτの何倍か聞かれたとき、この表を思い出せれば指数関数を計算し直さなくても答えが出せる。

放電のときは逆に、コンデンサに蓄えられていた電圧 $V_0$ が、時間とともに0Vへ向かって減っていく。

V(t) = V_0 e^{-t/\tau}

$t=\tau$ を代入すると $e^{-1} \approx 0.368$ となり、元の電圧の約36.8%まで下がる (裏を返せば、63.2%減ったということ)。充電の63.2%(到達率)と、放電の36.8%(残存率)を取り違えないよう、「充電は増えて近づく、放電は減って残る」と動きの向きで覚えておきたい。

RL回路 — コイルに流れる電流の増加・減少と時定数

抵抗 $R$ とコイル(インダクタンス $L$ )を直列につないだ回路でも、同じ形の現象が起きる。ただし、コンデンサが電圧の変化を妨げるのに対して、コイルは電流の変化を妨げるという違いがある。

I(t) = I_0\left(1-e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R}

RL回路の時定数は $\tau = L/R$ で、RC回路の $\tau=RC$ とは掛け算・割り算の形が逆になる。これも単位で検算できる。 $L/R$ は $[\text{H}]/[\Omega] = [\text{秒}]$ という次元になっており、 RCが「掛け算で秒になる」のに対し、RLは「割り算で秒になる」形だと対で覚えておくと取り違えにくい。

例題

インダクタンス0.6H、抵抗3ΩのRL回路の時定数はいくらか。

\tau = \frac{L}{R} = \frac{0.6}{3} = 0.2\text{秒}

時定数の式を迷ったら、単位で検算する。RC回路なら「Ω×F」、RL回路なら「H÷Ω」—— どちらも計算すると必ず「秒」になる。この単位の一致を確かめれば、掛け算・割り算の向きを取り違えていないか、その場でチェックできる。

LとCが両方そろうと何が起きるか — RLC回路の過渡現象とエネルギー保存

ここまで見てきたRC回路・RL回路は、変化を妨げる「エネルギーを蓄える要素」がコンデンサかコイルのどちらか一方だけだった。この場合、電圧・電流は必ず指数関数的に単調に （振動せず）最終値へ近づいていく。

だが、コイルとコンデンサが両方そろった回路（RLC回路）では話が変わる。コイルとコンデンサは、それぞれ違う形でエネルギーを蓄える（コイルは電流＝磁気エネルギー、コンデンサは電圧＝静電エネルギー）ため、この2つの間でエネルギーが行ったり来たりやり取りされる場面が生まれる。その結果、抵抗Rが十分に大きい（制動が強い）場合は RC・RL回路と同じように単調に最終値へ近づくが、Rが小さい（制動が弱い）場合は、電流や電圧が最終値を一旦追い越してから、振動しながら収束する（オーバーシュート）ことがある。

「コイル・コンデンサが1つだけの回路（1次系）」と「両方そろった回路（2次系）」は、別物として区別する必要がある。1次系は必ず単調に近づくが、2次系は抵抗の大小によって振動するかどうかが変わる、という可能性そのものを検討対象に入れておく。試験では波形のグラフから正しい形を選ばせる出題が多く、単調に近づく形と、一旦超えてから戻ってくる振動的な形の、両方のイメージを持っておくことが鍵になる。

波形そのものを式で追いかけるのは複雑だが、外部電源がない回路であれば、指数計算を一切せずに「抵抗で最終的にどれだけの熱が発生するか」を求める近道がある。それが エネルギー保存則だ。コイルもコンデンサも、十分に時間が経てば最終的にはエネルギーを蓄えていない状態（コンデンサの電圧0、コイルの電流0）に落ち着く。途中でどれだけ振動しようと、外から補充されるエネルギーがない以上、最初に蓄えられていたエネルギーは、行き先を変えながらも最終的にはすべて抵抗の熱として消費される。

例題

静電容量4μFのコンデンサが電圧100Vに充電されている。このコンデンサに抵抗50Ωとインダクタンス2Hを直列に接続した回路がある。スイッチを閉じてから十分に時間が経過し、コンデンサの電圧が最終的に0Vになった。この間に抵抗で消費された電気エネルギーはいくらか。

W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}\times4\times10^{-6}\times100^2 = 0.02\text{J} = 20\text{mJ}

コンデンサに最初に蓄えられていた静電エネルギー20mJが、途中でコイルとの間を行き来しながらも、最終的にはすべて抵抗で消費される。抵抗の値やインダクタンスの値（この例では50Ω、2H）は、実は答えの数値そのものには関係しない——波形の形（振動するかどうか）を左右するだけで、最終的に消費される総エネルギーは「最初に蓄えられていたエネルギーがすべて」という保存則だけで決まる。

RLC回路で「抵抗で消費されるエネルギーは？」と聞かれたら、まず回路に外部電源が残っているかどうかを確認する。電源がなければ、波形を追いかけずにエネルギー保存則（初期に蓄えられていたエネルギー＝最終的に抵抗で消費されるエネルギー）だけで即座に答えが出せる、という近道を持っておくと計算が大幅に速くなる。

なぜ実務でこの「間」が使われるのか

タイマーリレーや遅延回路の中には、RC回路の時定数を利用して「一定時間後に動作させる」仕組みを作っているものがある。抵抗値や静電容量を変えれば時定数を調整できるため、遅延させたい時間に応じて部品の定数を選ぶ、という設計の考え方が成り立つ。

また、モーターに電源を入れた瞬間に流れる大きな電流(突入電流)が、時間とともに定格電流まで落ち着いていくのも、モーターの巻線が持つインダクタンス成分によるRL的な過渡現象の一種として理解できる。制御盤の設計や保護装置の整定(動作条件の設定)を考えるうえで、「変化には必ずこれだけの時間がかかる」という感覚を持っていることは、実務でも役に立つ。

スイッチを入れた瞬間・十分後の回路 — 短絡・開放の「早見表」

ここまでは、時間の経過とともに電圧・電流がどう変化していく途中を追いかけてきた。だが試験でよく問われるのは、指数関数の計算そのものよりも、始点(t=0)と終点(t→∞) だけを素早く求める場面だ。実はこの2点は、コンデンサとコイルをそれぞれ「短絡」か「開放」に置き換えるだけで、指数計算なしに求められる。

t=0（スイッチを入れた直後）：それまで電荷が0だったコンデンサは、 $V=Q/C=0$ V。両端の電圧が0Vということは、そこには抵抗0の導線（短絡）があるのと同じ状態だ。一方、それまで電流が0だったコイルは、電流の急な変化を嫌う性質（自己誘導）により、スイッチを入れた直後もまだ電流が0のまま——電流が流れない状態は、開放とみなせる。
t→∞（十分に時間が経過した定常状態）：コンデンサは電圧が一定値まで充電しきると、それ以上電流が流れ込まなくなる（ $I=C\,dV/dt=0$ ）ため、開放とみなせる。コイルは電流が一定値に落ち着くと、誘導起電力が消える（ $e=L\,di/dt=0$ ）ため、ただの導線（短絡）とみなせる。

「t=0とt→∞では、コンデンサとコイルの役割が入れ替わる」と覚えておくと迷わない。 t=0ではコンデンサ＝短絡・コイル＝開放。t→∞ではコンデンサ＝開放・コイル＝短絡。どちらも「変化が0の瞬間には、変化を妨げる素子（コイル）も、変化しきった素子（コンデンサ）も、仕事をしなくなる」という同じ発想の裏表になっている。

例題

電源電圧E=12V、R1=3Ω（電源・スイッチと直列）に続く節点から、R2=6Ωの抵抗が直接、もう一方でR3=3Ωと初期電荷0のコンデンサが直列になった枝が、それぞれ並列に接続されている回路がある。スイッチを閉じた瞬間（t=0）の電流 $I_0$ と、十分時間が経過した定常状態の電流 $I$ を求めよ。

t=0では、コンデンサは短絡とみなせる。すると節点から先はR2とR3の並列になる。

R_2 \parallel R_3 = \frac{6\times3}{6+3} = 2\Omega, \qquad I_0 = \frac{12}{3+2} = 2.4\text{A}

t→∞では、コンデンサは開放とみなせる。すると電流はR3側の枝には流れず、R1とR2の直列だけを通る。

I = \frac{12}{3+6} \fallingdotseq 1.33\text{A}

\frac{I_0}{I} = \frac{2.4}{1.33} \fallingdotseq 1.8

この「短絡・開放の早見表」は、指数関数の式 $V(t)=V_0(1-e^{-t/\tau})$ を使わずに、回路の**始点**と**終点**だけをピンポイントで求めるための近道だ。途中経過（例えば「0.5秒後の電流」）を知りたい場合は、この早見表で求めたt=0・t→∞の値を使って、あらためて指数関数の式に当てはめる、という2段構えで解くとよい。

冒頭のタイマーリレーやモーター起動時の電流変化——その「間」の長さがどう決まっているか、答え合わせは理解度チェックの最後の問題でしてみよう。

出題者のワナ — ここで受験者を転ばせにくる

この論点は、知っているだけでは足をすくわれる。試験でよく仕掛けられる崩し方を、先に知っておこう。

RC回路とRL回路で、時定数の式(τ=RCとτ=L/R)を取り違える

なぜ引っかかるどちらも『蓄える側の量と抵抗を組み合わせる』という点だけを覚えていると、RL回路でもτ=LRとしてしまったり、RC回路でτ=R/Cとしてしまう。

見破り方単位で検算する。RCは[Ω]×[F]=[秒]になるが、L/Rは[H]/[Ω]=[秒]になる。『RCはそのまま掛け算、RLは割り算』と対で覚え、迷ったら単位を確認する。
充電時の63.2%と放電時の36.8%を混同する

なぜ引っかかるどちらも『1τ経過後の変化量』という点で似ているため、充電のときの数字をそのまま放電に当てはめたり、逆にしてしまう。

見破り方充電は『0から増えて最終値に近づく』ので1τで最終値の63.2%まで到達、放電は『最初の値から減っていく』ので1τで元の値の36.8%まで残っている(=63.2%減った)と、増減の向きで覚え直す。63.2%+36.8%=100%になる関係も検算に使える。
1τが経過すれば、完全に定常状態になると考えてしまう

なぜ引っかかる指数関数的な変化は理論上ゼロに近づき続けるだけで、有限の時間で厳密にゼロにはならない。しかし『1τ後には〇〇になる』という表現に引きずられ、1τで変化が完了すると誤解しやすい。

見破り方1τ後はまだ約63%(充電)・約37%(放電)というあくまで途中経過の値にすぎない。実務・試験でおおむね『完了』とみなせるのは5τ以上経過したあと(約99%以上)である点を区別する。
初期電荷0のコンデンサは、スイッチを入れた瞬間(t=0)も『まだ充電されていないから電流を通さない(開放)』と思い込んでしまう

なぜ引っかかる『コンデンサは直流を通さない』という定常状態の性質を、スイッチを入れた瞬間にもそのまま当てはめてしまう。しかし電荷0のコンデンサはV=Q/C=0Vであり、両端の電圧が0Vということは、そこには抵抗0の導線(短絡)があるのと同じ状態になる。

見破り方『コンデンサが電流を妨げるのは、電圧がたまってから』と考え直す。電荷0の瞬間は電圧0Vなので短絡と同じにふるまい、時間が経ち電圧がたまるにつれて、しだいに開放(定常状態)に近づいていく、という時間の流れをイメージする。
十分時間が経過した定常状態でも、コイルには依然として大きな抵抗があり電流を妨げていると考えてしまう

なぜ引っかかる『コイルは電流の変化を妨げる』という自己誘導の性質を、電流が一定になった定常状態にもそのまま当てはめてしまう。しかしe=L(di/dt)は電流が変化しなくなればdi/dt=0となり、コイルの両端電圧も0Vになる——つまり抵抗0の導線(短絡)と同じ状態になる。

見破り方コイルが妨げるのは『電流の変化』であって『電流そのもの』ではない、と定義に立ち返る。定常状態はdi/dt=0なので、コイルはただの導線として振る舞い、電流の大きさは回路の抵抗分だけで決まる。
RLC回路(コイルとコンデンサが両方ある回路)の過渡応答を、RC回路と同じように必ず単調に(振動せず)最終値へ近づくものだと思い込む

なぜ引っかかるRC回路・RL回路で身につけた『指数関数的になめらかに最終値へ近づく』というイメージを、コイルとコンデンサが両方そろった回路にもそのまま当てはめてしまう。しかしRC・RL回路は変化を妨げる要素が1つ(1次系)なのに対し、RLC回路はコイルとコンデンサという2つの『エネルギーを蓄える要素』が絡み合うため、条件によっては最終値を通り過ぎてから戻ってくる振動的な挙動(オーバーシュート)が起こりうる。

見破り方回路にコイルとコンデンサが両方含まれているかをまず確認する。両方そろっていれば、抵抗Rの大小によって振動するかどうかが変わりうる(Rが大きいほど振動しにくい)、という可能性を検討対象に入れる。RC・RL単独のときの『必ず単調に近づく』という前提は、L・Cが両方そろった回路には無条件には持ち込めない。

参考文献・出典

第三種電気主任技術者の試験概要｜電気技術者試験センター（「理論」科目の出題範囲（電気理論））

理解度チェック（9問）

このトピックの内容がどれくらい身についたか、9問で確認しよう。内訳は基本4問・応用2問・ひっかけ3問。基本が解けたら、条件を足した応用と、本番で足をすくいにくるひっかけまで踏み込む。

/ 9 問正解

覚えておきたいポイント

過渡現象とは、スイッチ操作などの直後に電圧・電流が新しい定常値へ落ち着くまでの、指数関数的な変化の過程
RC回路の時定数 τ = RC〔秒〕。値が大きいほど、変化はゆっくり進む
RL回路の時定数 τ = L/R〔秒〕
充電(0からの立ち上がり)は1τ経過で最終値の約63.2%に達する。放電(最初の値からの減衰)は1τ経過で約36.8%まで下がる
実務上、5τ経過すればほぼ定常状態(約99%以上)に達したとみなせる
スイッチを入れた直後(t=0）、それまで電荷0だったコンデンサは短絡、それまで電流0だったコイルは開放とみなせる。十分時間が経った定常状態(t→∞)では逆に、コンデンサは開放、コイルは短絡とみなせる——複雑な回路網の初期値・終端値をすばやく求める近道
コイルとコンデンサが両方そろったRLC回路(2次系)は、抵抗Rが大きい(制動が強い)ときはRC・RL回路と同じく単調に最終値へ近づくが、Rが小さい(制動が弱い)ときは最終値を一旦超えてから振動的に収束する(オーバーシュートする)場合がある。外部電源がなければ、最終的にコイル・コンデンサに残るエネルギーは0になるため、初期に蓄えられていた静電エネルギー・電磁エネルギーは、途中の波形によらずすべて抵抗の熱として消費される

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