抵抗R=20kΩとコンデンサC=0.5μFを直列に接続し、コンデンサの両端電圧を出力とする。入力電圧に対する出力電圧の比（周波数伝達関数）の折れ点角周波数はいくらか。

100rad/s。出力電圧比は1/(1+jωCR)で、時定数はT=CR=20×10³×0.5×10⁻⁶=0.01s。折れ点角周波数はその逆数のω=1/T=100rad/s。0.01rad/sは時定数Tそのものを折れ点とした誤り。628rad/sは折れ点を周波数100Hzと見て2πを掛けた誤り。15.9rad/sは周波数f=1/(2πT)≒15.9Hzを角周波数と取り違えた誤り。

周波数伝達関数 G(jω)=4/(1+jωT) の、ω=1/T における正確なゲインは何dBか。ただしlog₁₀2≒0.301とする。

9dB。ω=1/TでωT=1なので|G|=4/√2。20log₁₀4=40×0.301≒12dB、20log₁₀√2=10×0.301≒3dBなので、12−3=9dB。12dBは折線近似の値（折れ点の約3dBの低下を落とした誤り）。15dBは3dBを足した符号の誤り。-3dBはKの寄与（12dB）を落とし、一次遅れの分だけを答えた誤り。

積分要素 G(jω)=1/(jω×0.1) について、ω=1000rad/s におけるゲインは何dBか。

-40dB。|G|=1/(0.1×1000)=1/100なので20log₁₀(1/100)=-40dB。積分要素は全域で-20dB/decの直線で、ω=1/T=10rad/sで0dBを横切る。10から1000は2デカードなので-40dBになる。-20dBは1デカード分しか数えなかった誤り。0dBは0dBを横切る点（ω=10）の値をそのまま使った誤り。+40dBは符号を逆にした（微分要素と取り違えた）誤り。

比例要素 K=10 と、一次遅れ要素 1/(1+jω×0.02) を直列に結合した。折線近似で、ω=500rad/s におけるゲインは何dBか。

0dB。K=10は20log₁₀10=20dB。一次遅れの折れ点はω=1/0.02=50rad/sで、500rad/sは1デカード上なので-20dB。合計は20−20=0dB。20dBは折れ点を過ぎた減衰を落とした誤り。-10dBは倍率10を10dBと取り違えた誤り（正しくは20dB）。-20dBはKの寄与を落とし、一次遅れの分だけを答えた誤り。

G(jω)=1/{jωT(1+jωT)} は、積分要素と一次遅れ要素の直列結合である。ω=1/T における正確なゲインと位相の組み合わせはどれか。

-135°、-3dB。ω=1/Tで、積分要素は|1/(jωT)|=1（0dB）・位相-90°、一次遅れ要素は正確値で1/√2倍（約-3dB）・位相-45°。直列結合なのでゲインは0+(-3)=-3dB、位相は-90°+(-45°)=-135°。-45°は積分要素の位相-90°を落とした誤り。-135°で0dBは折れ点の約3dBの低下を落とした（折線近似の値を答えた）誤り。-180°は折れ点の位相-45°を漸近値の-90°として足した誤り。

ボード線図を読むと、G(jω)=K/(1+jωT) のゲイン線図は、低域で約26dBの水平線、角周波数20rad/sで折れて、その高域で-20dB/decの直線になっていた。KとTの組み合わせはどれか。ただしlog₁₀2≒0.301とする。

K=20、T=0.05s。低域のゲインは20log₁₀K≒26dB。26≒20+6で、6dBは20log₁₀2≒6dBなので、K=10×2=20。折れ点が20rad/sなのでT=1/20=0.05s。K=20、T=20sは折れ点をTそのものとした誤り。K=26、T=20sはdB値をそのまま倍率にした誤りと、折れ点をTそのものとした誤りの二重の誤り。K=400は10log₁₀の係数でK=10^(26/10)≒400と逆算した誤り（電圧比では係数は20）。

積分要素 G(jω)=1/(jωT) のゲイン線図が、-20dB/decの右下がりの直線で、ω=2rad/s のときに+20dBを通っていた。Tはいくらか。

0.05s。+20dBは倍率で10倍。|G|=1/(ωT)=10にω=2を入れて、T=1/(2×10)=0.05s。このとき0dBを横切る角周波数は1/T=20rad/s（2から1デカード上で0dB）と整合する。5sは1/(ωT)をωT×10と取り違えた逆数の誤り。0.5sは1/ω=0.5sとしてゲインの10倍を無視した誤り。0.025sは20dBを倍率20として1/(2×20)で求めた誤り。

抵抗Rとコイルの直列回路に交流電圧v_iを加え、出力をコイルの両端電圧v_oにとる。T=L/Rとして、周波数伝達関数v_o/v_iのゲイン特性として正しいものはどれか。

低域は+20dB/decで上がり、高域は0dBに近づく高域通過の特性。分圧からv_o/v_i=jωL/(R+jωL)=jωT/(1+jωT)。低域(ωT≪1)ではjωTに近く+20dB/dec・位相+90°、高域(ωT≫1)では1に近く0dB・位相0°になり、折れ点ω=1/Tで約-3dB・位相+45°となる。0dBから下降する特性は出力を抵抗の両端にとった場合（低域通過）の取り違え。全域+20dB/decは微分要素jωT単体との取り違え。低域で下降する特性は傾きの符号の誤り。

ある回路の出力電圧が入力電圧の1/8になった。電圧比のゲインは何dBか。ただしlog₁₀2≒0.301とする。

-18dB。20log₁₀(1/8)=-20×3×log₁₀2=-60×0.301≒-18dB。-9dBは電力比の係数10を使った誤り（電圧・電流の比では20）。+18dBは符号を逆にした（8倍の増幅としてしまった）誤り。-6dBは1/2倍の値（20log₁₀2≒6）だけを使い、8=2³の指数3を落とした誤り。

一次遅れ要素 1/(1+jω/10) と、一次進み要素 1+jω/100 を直列に結合した。折線近似で、ω=1000rad/s におけるゲインは何dBか。

-20dB。一次遅れの折れ点は10rad/sで、それ以上で-20dB/dec。10→100で1デカード下降して-20dB。100rad/sから一次進み要素が折れて+20dB/decが加わり、傾きが打ち消されて水平になる。したがって1000rad/sでも-20dB。-40dBは一次進み要素の上昇を落とした（一次遅れの下降だけを2デカード分数えた）誤り。-60dBは一次進みを遅れ要素として傾きを-40dB/decにした誤り。+20dBは一次遅れの下降を数えず、一次進みの上昇だけを加えた誤り。

一次遅れ要素 1/(1+jωT) の正確なゲインは、折れ点の2倍の角周波数ω=2/T で、折線近似の値に比べてどれだけ低いか。ただしlog₁₀2≒0.301とする。

約1dB。折線近似ではω=2/Tで-20log₁₀2≒-6.02dB。正確値は-10log₁₀(1+2²)=-10log₁₀5=-10(1−0.301)≒-6.99dBなので、差は約1dB。約3dBは折れ点ω=1/Tでの差をそのまま他の周波数にも使った誤り。約6dBは折線近似の値そのものを差と取り違えた誤り。0dBは折れ点以外では近似と正確値が一致すると考えた誤り。

ボード線図から読み取る位相余裕とゲイン余裕について、正しい記述はどれか。

ゲインが0dBの周波数で位相が-180°まで残っている角度が位相余裕、位相が-180°の周波数でゲインが0dBを下回る量がゲイン余裕。位相余裕はゲインが0dBになる周波数での位相と-180°の差、ゲイン余裕は位相が-180°になる周波数でのゲインと0dBの差である。位相が180°遅れる周波数でゲインが0dB以上あると負帰還が正帰還になり発振のおそれがあるため、安定性の目安になる。位相余裕とゲイン余裕を読む周波数を入れ替えた選択肢は、周波数の取り違えである（位相余裕はゲインが0dBの周波数、ゲイン余裕は位相が-180°の周波数で読む）。折れ点で読む選択肢と、低域の高さや高域の漸近値で読む選択肢は、いずれも余裕の定義とは別の量を指した誤り。

積分要素 G(jω)=1/(jωT) のボード線図について、正しい記述はどれか。

全域で-20dB/decの直線になり、ω=1/Tで0dBを横切る。位相は-90°で一定である。|G|=1/(ωT)なので20log₁₀|G|=-20log₁₀(ωT)で、ωが10倍になるごとに-20dB下がる直線。ωT=1（ω=1/T）で0dBを横切る。位相は-90°で一定。ゲインが0dB一定の選択肢は、ゲインが周波数に依存しない比例要素の性質との取り違え。+20dB/decで+90°は微分要素jωTとの取り違え。折れ点を持つ選択肢は一次遅れ要素1/(1+jωT)との取り違えである。

機械・ 15 / 18

ボード線図と周波数伝達関数

読み終えると、こうなる

折れ線の引かれたボード線図を見たとき、式を立てる前にどこを読めばKとTが取り出せるかが分かり、回路の式からも図の形を先に思い描けるようになる

RC回路・RL回路の電圧比をインピーダンスの分圧から求め、1/(1+jωT)の形に直して時定数Tと折れ点角周波数ω=1/Tを出せる
比例・積分・一次遅れの要素を直列にした周波数伝達関数について、指定した角周波数でのゲイン[dB]と位相[°]を折線近似で計算できる
ボード線図の低域の水平部分の高さと折れ点の位置、または右下がり直線の通過点を読み取り、KとTを逆算できる
折れ点での正確なゲイン（約-3dB）と折線近似（0dB）の差を使い分け、どちらを求められているかを問題文から判断できる

考えてみよう

試験問題に、横軸が角周波数の対数、縦軸がdBのグラフが1枚載っている。低いところは水平な線、途中で折れて右下がりの直線になる。問いはこうだ。「この回路の時定数はいくらか」。

式はどこにも書かれていない。グラフのどこを読めば、時定数Tも比例定数Kも取り出せるのか。

実は、回路の式から図の形を先に思い描けるようになると、この手の問題は読み取りの作業に変わる。

このトピックを読み終えるころには、折れ線の引かれたボード線図を見て、式を立てる前にKとTを取り出せるようになっている。

この記事の結論

周波数伝達関数 $G(j\omega)$ は、伝達関数の $s$ を $j\omega$ に置き換えたもの。大きさ $|G|$ が入出力の振幅比（ゲイン）、偏角 $\angle G$ が位相差を表す。
ゲインは $20\log_{10}|G|$ [dB]。直列に結合した要素は、dBも位相も足し算で合成できる。
折れ点は $\omega=1/T$ 。折線近似は低域0dB、高域 $-20$ dB/dec（dec＝デカード。周波数が10倍になる区間あたり）。正確値は折れ点でちょうど $1/\sqrt{2}$ 倍（約 $-3$ dB）、位相は $-45^\circ$ 。
図から読むときは、低域の水平部分の高さが $20\log_{10}K$ 、折れ点の位置が $1/T$ 。

一次遅れ $1/(1+j\omega T)$ のボード線図とベクトル軌跡、積分要素を含む閉ループの合成は、すでに「自動制御の基礎（フィードバック制御）」で扱っている。このページはその前段と後段をつなぐ。RC回路・RL回路から式を導く部分、比例・積分・微分・一次進みの各要素、直列結合、図から定数を逆算する読み方を足す。

周波数伝達関数とは何か

伝達関数 $G(s)$ に、 $s\to j\omega$ の置き換えをして得られる $G(j\omega)$ を周波数伝達関数と呼ぶ。複素数なので、大きさと偏角に分けて読む。

|G(j\omega)|=\frac{|Y|}{|X|}\ (\text{入出力の正弦波の振幅比}),\qquad \angle G(j\omega)=\angle Y-\angle X\ (\text{位相差})

つまり、正弦波を入れたときの「出力が何倍になるか」と「どれだけ位相がずれるか」を、1つの複素数で表したものだ。実験では、正弦波を加えてオシロスコープなどで入出力の振幅比と位相差を測れば、この値が得られる。

RC回路・RL回路から導く

交流回路のインピーダンスの分圧がそのまま周波数伝達関数になる。入力電圧 $V_i$ 、出力電圧 $V_o$ のフェーザ表示で考える。

RC回路（コンデンサの両端を出力）

\frac{V_o}{V_i}=\frac{1/j\omega C}{R+1/j\omega C}=\frac{1}{1+j\omega CR},\qquad T=CR\ [\text{s}]

RL回路（抵抗の両端を出力）

\frac{V_o}{V_i}=\frac{R}{R+j\omega L}=\frac{1}{1+j\omega L/R},\qquad T=\frac{L}{R}\ [\text{s}]

どちらも $1/(1+j\omega T)$ の一次遅れ要素になる。出力を取る素子を入れ替えると形が変わる。RL回路でコイルの両端を出力にとると、 $V_o/V_i=j\omega T/(1+j\omega T)$ となり、低域でゲインが上がっていく高域通過の特性になる。

出力電流を0とみなして計算するのは、後段の回路の影響を無視して式を簡単にするためだ。実際の回路では、後段につなぐものによって特性が変わる。上のRC回路・RL回路の式は、この前提で求めたものだ。

ゲイン[dB]と位相

ゲインは次の式でdBに直す。入出力が電圧・電流の場合の係数は20である（電力の比なら10）。

\text{ゲイン}=20\log_{10}|G(j\omega)|\ [\text{dB}]

次の対応を覚えておくと、電卓なしで計算しやすい。問題によっては $\log_{10}2\fallingdotseq0.301$ 、 $\log_{10}3\fallingdotseq0.477$ が与えられる。

電圧の倍率	計算	ゲイン
1	$20\log_{10}1$	0 dB
2	$20\times0.301$	約 6 dB
$\sqrt{2}$	$10\times0.301$	約 3 dB
3	$20\times0.477$	約 9.5 dB
10	$20\log_{10}10$	20 dB
$1/10$	$-20$	$-20$ dB
$1/2$	$-20\times0.301$	約 $-6$ dB
$1/\sqrt{2}$	$-10\times0.301$	約 $-3$ dB

倍率が逆数になると、dBは符号が反転する。10倍ごとに20dB動くことも、これからの折線近似の土台になる。

基本要素の特性

ボード線図では、各要素のゲイン線図と位相線図を次のように覚える。 $\omega$ は角周波数 [rad/s]、 $T$ は時定数 [s] である。

要素	$G(j\omega)$	ゲイン線図	位相
比例	$K$	$20\log_{10}K$ で水平	$0^\circ$
積分	$\dfrac{1}{j\omega T}$	$-20$ dB/dec の直線。 $\omega=1/T$ で0dBを横切る	$-90^\circ$ 一定
微分	$j\omega T$	$+20$ dB/dec の直線。 $\omega=1/T$ で0dBを横切る	$+90^\circ$ 一定
一次遅れ	$\dfrac{1}{1+j\omega T}$	折れ点 $1/T$ の前は0dB、後は $-20$ dB/dec	$0^\circ\to-45^\circ\to-90^\circ$
一次進み	$1+j\omega T$	折れ点 $1/T$ の前は0dB、後は $+20$ dB/dec	$0^\circ\to+45^\circ\to+90^\circ$

二次遅れ要素 $1/\{1+2\zeta(j\omega/\omega_n)+(j\omega/\omega_n)^2\}$ は、ここでは概要だけでよい。高域では $-40$ dB/dec の傾きに近づき、位相は $0^\circ$ から $-180^\circ$ へ向かう。折れ点にあたる角周波数は固有角周波数 $\omega_n$ である。電気の側では、RLC回路がこの形になる。

積分要素は、電気回路ではオペアンプを使った積分回路で実現できる。出力が入力電圧の時間積分に比例する回路だ。微分要素は同様に微分回路にあたるが、高周波ほどゲインが大きくなるため、実際に性能のよいものを作るのは難しいとされる。

積分要素と一次遅れ要素の違いは折れ点の有無で見分ける。積分要素 $1/(j\omega T)$ は低域でもゲインが上がり続け、どこにも折れない。 $\omega=1/T$ は「0dBを横切る点」であって折れ点ではない。一次遅れ要素は折れ点より低い側が0dBで水平になる。

直列結合：dBと位相は足し算

2つの要素を直列に結合した $G_1(j\omega)G_2(j\omega)$ のゲインと位相は、次のとおり。

20\log_{10}|G_1G_2|=20\log_{10}|G_1|+20\log_{10}|G_2|,\qquad \angle(G_1G_2)=\angle G_1+\angle G_2

倍率は掛け算なので、そのままでは計算しにくい。対数を取ると足し算になる。だから、要素ごとに描いたボード線図を上下に重ねるだけで、全体の図ができる。

折線近似と正確値

一次遅れ要素 $1/(1+j\omega T)$ のゲインは、

20\log_{10}\left|\frac{1}{1+j\omega T}\right|=-10\log_{10}\{1+(\omega T)^2\}

となる。折線近似では、2つの直線で代用する。

$\omega T\ll1$ ： $-10\log_{10}1=0$ dB で水平
$\omega T\gg1$ ： $-20\log_{10}(\omega T)$ で、 $\omega$ が10倍になるごとに $-20$ dB（ $-20$ dB/dec）

2本の直線が交わる折れ点が $\omega=1/T$ である。一方、正確な値は次のようにずれる。

$\omega$	折線近似	正確なゲイン	正確な位相
$0.1/T$	0 dB	$-0.04$ dB	$-5.7^\circ$
$0.5/T$	0 dB	$-0.97$ dB	$-26.6^\circ$
$1/T$	0 dB	$-3.01$ dB	$-45^\circ$
$2/T$	$-6.02$ dB	$-6.99$ dB	$-63.4^\circ$
$10/T$	$-20$ dB	$-20.04$ dB	$-84.3^\circ$

差が最も大きいのは折れ点で、約3dB。折れ点の半分と2倍の角周波数でも約1dBずれる。10倍離れればほぼ一致する。折れ点でのゲインを「 $-3$ dB」と書くことが多いが、これは近似の値である。理論的な計算では、折れ点でゲインの倍率が $1/\sqrt{2}$ になることを使う。

「折線近似のゲイン」と「正確なゲイン」を求める問題は、同じ式で答えが変わる。折線近似なら折れ点でちょうど0dB、正確値なら約 $-3$ dB。問題文の指定を先に読むこと。折線近似はゲイン特性に使うのが基本で、位相の折線近似もあるが一致が良くない。位相は上の表のように正確な値で読む。

過去問の型で解く

出題の型は、(1) 回路や式からゲイン・折れ点・位相を計算する、(2) 要素を直列にしたときの合成、(3) 図から定数を逆算する、の3つに分けられる。数値は自作の例である。

例題1：RC回路の周波数伝達関数

$R=10$ kΩ、 $C=1$ μFのRC回路で、コンデンサの両端を出力にとる。周波数伝達関数、折れ点角周波数、 $\omega=100$ rad/sと $\omega=200$ rad/sのゲインと位相を求めよ。ただし $\log_{10}2\fallingdotseq0.301$ とする。

G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega CR},\qquad T=CR=10\times10^{3}\times1\times10^{-6}=0.01\ \text{s}

折れ点角周波数は $\omega=1/T=100$ rad/s（周波数にすると $f=100/2\pi\fallingdotseq15.9$ Hz）。

$\omega=100$ のとき： $\omega T=1$ なので、 $|G|=1/\sqrt{2}$ で約 $-3$ dB、位相 $-45^\circ$ 。
$\omega=200$ のとき： $\omega T=2$ なので、 $-10\log_{10}5=-10(1-0.301)\fallingdotseq-7.0$ dB、位相 $-\arctan2\fallingdotseq-63^\circ$ 。折線近似なら $-20\log_{10}2\fallingdotseq-6$ dB。

$\log_{10}5=1-\log_{10}2$ と書き直すと、 $\log_{10}2$ だけで計算できる。10をまたぐ数は、10で割るか掛けるかして2・3の組み合わせに直すのが電卓なしのコツだ。

例題2：K と積分要素の直列合成

$G(j\omega)=K\times\dfrac{1}{j\omega T}$ で、 $K=4$ 、 $T=0.5$ s とする。ゲイン線図が0dBを横切る角周波数と、 $\omega=2$ rad/sでのゲイン、位相を求めよ。

|G|=\frac{K}{\omega T}=\frac{4}{0.5\omega}=\frac{8}{\omega}

位相は積分要素だけが効き、 $-90^\circ$ 一定。比例要素は位相を動かさない。
$\omega=2$ のとき： $|G|=4$ で、 $20\log_{10}4=40\times0.301\fallingdotseq12$ dB。
0dBを横切る点は $8/\omega=1$ より $\omega=8$ rad/s。 $\omega=2$ の12dBから $-20$ dB/dec で下ると、 $\omega=2\times10^{12/20}\fallingdotseq2\times4=8$ で0dBになり、一致する。

比例要素の $K$ は、積分要素の直線を $20\log_{10}K$ dBだけ上に持ち上げる。0dBを横切る角周波数が $1/T$ から $K/T$ に右へずれる。

例題3：図から K と T を逆算する

次の2つの読み取り結果が与えられている。それぞれ $G(j\omega)$ を求めよ。

	読み取り結果
図A	低域は14dBの水平線。折れ点は50 rad/s。それより高域は $-20$ dB/dec。位相は低域0°、高域 $-90^\circ$ に近づく
図B	全域で $-20$ dB/dec の右下がりの直線。 $\omega=10$ rad/sで $+20$ dB。位相は $-90^\circ$ 一定

図A：一次遅れ $K/(1+j\omega T)$ の形。低域の高さ $20\log_{10}K=14$ dB。 $14=20-6$ で、 $20\log_{10}10=20$ 、 $20\log_{10}2\fallingdotseq6$ なので、 $K=10/2=5$ 。折れ点が $1/T=50$ より $T=0.02$ s。

G(j\omega)=\frac{5}{1+j0.02\omega}

図B：位相が $-90^\circ$ 一定で折れ点がないので、積分要素 $K/(j\omega T)$ の形。 $\omega=10$ で $+20$ dB（10倍）より $K/(10T)=10$ 、すなわち $K/T=100$ 。0dBを横切るのは $\omega=100$ rad/s。

G(j\omega)=\frac{100}{j\omega}\quad(K/T=100)

図Bから決まるのは $K/T$ の比だけで、 $K$ と $T$ は別々には決まらない。積分要素の線は、 $K$ を2倍にしても $T$ を半分にしても同じ位置に来るためだ。

図から読む順番は決まっている。(1) 位相が0°から-90°に変わる→一次遅れ、-90°一定→積分要素、と要素の種類を決める。(2) 水平部分があれば、その高さが $20\log_{10}K$ 。(3) 折れる角周波数が $1/T$ 。(4) 右下がり直線だけなら、通過する1点から $K/T$ を求める。

ゲイン余裕・位相余裕（用語の紹介）

フィードバック系の安定性を、ボード線図の読み取りで調べる量として、ゲイン余裕と位相余裕がある。

位相余裕：ゲインが0dBになる周波数で、位相が $-180^\circ$ までどれだけ残っているか。
ゲイン余裕：位相が $-180^\circ$ になる周波数で、ゲインが0dBをどれだけ下回っているか。

位相が180度遅れる周波数でゲインが0dB（倍率1）以上あると、負帰還が正帰還に変わり、異常発振のおそれがある。計測器メーカーの用語解説には、目安として位相余裕60度以上・利得余裕10dB以上が挙げられている。保証値ではなく、用途によって目標は異なる。試験ではまず用語と定義を押さえておけば足りる。

注意点

折れ点は $\omega=1/T$ で、 $\omega=T$ ではない。単位は [rad/s] で、周波数 [Hz] は $1/(2\pi T)$ 。
折れ点のゲインは、折線近似なら0dB、正確値なら約 $-3$ dB。問題文の指定を確認する。
電圧・電流の比は $20\log_{10}$ 、電力の比は $10\log_{10}$ 。
積分要素に折れ点はない。一次遅れの高域は積分要素と同じ形（ $-20$ dB/dec、 $-90^\circ$ ）に近づく。
直列結合は、倍率の掛け算ではなくdBの足し算と位相の足し算。

実務との接点

周波数応答は、正弦波を加えて入出力の振幅比と位相差を測ることで実測できる。ボード線図は、その結果を描く標準的な図である。制御系や電源回路のフィードバックでは、位相余裕とゲイン余裕が安定性の目安として使われる。

出題者のワナ — ここで受験者を転ばせにくる

この論点は、知っているだけでは足をすくわれる。試験でよく仕掛けられる崩し方を、先に知っておこう。

折れ点角周波数をT（時定数）そのものと取り違える、あるいはHzとrad/sを混同する

なぜ引っかかる1/(1+jωT)の分母は実部1と虚部ωTが釣り合う条件ωT=1で折れる。Tの単位は秒なので、折れ点は逆数の1/Tになる。さらに、これは角周波数[rad/s]であり、周波数[Hz]はf=1/(2πT)と別の値になる。

見破り方T=RC（またはL/R）を先に秒で出し、ω=1/Tを計算して単位を[rad/s]と書く。T=0.01sなら折れ点は100rad/s（約15.9Hz）で、0.01ではない。問題文が「角周波数」か「周波数」かを確認する。
折れ点のゲインを0dBと読む、あるいは折れ点の-3dBを他の周波数にもそのまま使う

なぜ引っかかる折線近似は低域の0dBの直線と高域の-20dB/decの直線を折れ点で結んだもので、折れ点では0dBになる。一方、正確なゲインは折れ点でちょうど1/√2倍（約-3dB）で、折れ点の半分・2倍の角周波数でも約1dBずれる。近似と正確値を区別しないと、問われている方と違う値を答えてしまう。

見破り方問題文が「折線近似」か「正確な」かを先に確認する。正確値は-10log10(1+(ωT)²)で計算する。折れ点から十分離れた周波数（10倍以上）では両者はほぼ一致する。
積分要素1/(jωT)に折れ点があると考える、あるいは直列結合の位相やゲインを掛け算で合成する

なぜ引っかかる積分要素のゲインは全域で-20dB/decの直線で、折れる場所がない（ω=1/Tはゲインが0dBを横切る点にすぎない）。ボード線図でdBを使うのは足し算で合成するためで、倍率のまま足したり、dB値同士を掛けたりすると誤る。

見破り方積分要素は「折れ点なし・全域-20dB/dec・位相-90°一定」と覚える。直列結合は、各要素のdB値を足し、各要素の位相を足す。倍率に戻すときだけ10^(dB/20)を使う。

参考文献・出典

第三種電気主任技術者の試験概要｜電気技術者試験センター（「機械」科目の出題範囲（自動制御））
制御工学（第8回）補足資料「2.1 周波数応答」｜鹿児島大学（大学の講義資料）（2.1.1 周波数伝達関数の定義（s→jω）、2.1.3 大きさは入出力の振幅比・偏角は位相差、2.1.4 縦続接続ではゲイン・位相とも和、2.1.5 dBの計算（電圧・電流は20log10）、2.2.1 比例要素、2.2.2 一次遅れ要素（RC回路の電圧比1/(1+jωRC)の導出、T=RC、ωT=1でゲイン約-3dB・位相-45°、-3dBは近似値で理論計算では1/√2を使う注意）、2.2.4 二次要素（高域-40dB/dec・位相-180°）、2.2.5 微積分要素（傾き-20NdB/dec・位相-90N°、良い微分回路を実現するのは難しく通常は積分要素だけで制御系を構成するとの記述）、2.2.6 一次微分要素）
制御工学第9回「ボード線図のゲイン特性の描き方」｜鹿児島大学（大学の講義資料）（各要素のゲイン特性の折れ線近似（比例要素は水平、一次要素の折れ点周波数は1/Tで分子+20・分母-20dB/dec変化、折れ点は1+jωTの実部と虚部が等しくなる角周波数、位相特性にも折れ線近似のやり方があるが一致が良くないとの記述））
位相余裕／ゲイン余裕（利得余裕）｜エヌエフ回路設計ブロック（計測器メーカーの用語解説）（位相余裕・利得余裕の用語、位相が180度遅れる周波数で利得が1（0dB）以上あると負帰還が正帰還になり異常発振の可能性があること、目安として位相余裕60度以上・利得余裕10dB以上が挙げられていること）
カットオフ周波数（遮断周波数）｜エヌエフ回路設計ブロック（計測器メーカーの用語解説）（カットオフ周波数は利得が1/√2（-3dB）となる周波数で定義されること、-3dBは電力が半分で電圧は1/√2倍にあたること）
周波数特性｜エヌエフ回路設計ブロック（計測器メーカーの用語解説）（周波数特性（周波数応答関数）はゲイン（入出力の振幅比）と位相（入出力の位相差）の周波数による変化をまとめたものであること）
伝達関数の測定｜エヌエフ回路設計ブロック（計測器メーカーの用語解説）（伝達関数 F(ω)=Y(ω)/X(ω) をFRA（周波数特性分析器）やネットワークアナライザで測定できること。「振幅比・位相差」の語そのものはページになく、複素比の大きさと偏角に対応させたのは本文の解釈）
電気技術解説講座オペアンプ（3）発振回路、微積分回路｜日本電気技術者協会（積分回路は入力電圧の時間積分に比例した出力が得られること（積分要素の電気回路での実現例）。周波数特性・時定数の式は本文に記載がなく、確認していない）
令和5年度下期第三種電気主任技術者試験機械（問13 ボード線図の折線近似ゲイン特性）｜電気技術者試験センター（問13（積分要素を含む閉ループ周波数伝達関数の折線近似ゲイン特性を選ぶ型）。出題の型の確認のみで、数値・文言は転載していない）
令和7年度下期第三種電気主任技術者試験機械（問13・問18 周波数伝達関数とボード線図）｜電気技術者試験センター（問18（周波数伝達関数を求め、正確なゲイン特性と折線近似を並べた図から正しいゲイン特性を選ぶ型）。出題の型の確認のみで、数値・文言は転載していない）

理解度チェック（13問）

このトピックの内容がどれくらい身についたか、13問で確認しよう。内訳は基本3問・応用6問・ひっかけ4問。基本が解けたら、条件を足した応用と、本番で足をすくいにくるひっかけまで踏み込む。

/ 13 問正解

覚えておきたいポイント

周波数伝達関数G(jω)は伝達関数のsをjωに置き換えたもの。大きさ|G|が入出力の振幅比（ゲイン）、偏角∠Gが位相差を表す。ゲインは20log10|G|[dB]で表す（電圧・電流の比）
直列に結合した要素は、ゲイン[dB]も位相も足し算で合成できる。倍率の掛け算がdBの足し算に変わるのがボード線図の最大の利点
比例要素Kはゲイン20log10K一定・位相0°、積分要素1/(jωT)は-20dB/decの直線で位相-90°一定（ω=1/Tで0dBを横切るが折れ点ではない）、微分要素jωTは+20dB/decで位相+90°
一次遅れ1/(1+jωT)の折れ点はω=1/T。折線近似は低域0dB、高域-20dB/dec。正確値は折れ点でちょうど1/√2倍（約-3dB）、位相は-45°で、低域0°から高域-90°へ変わる
図から読む手順は、低域の水平部分の高さ=20log10K、折れ点の位置=1/T、右下がり直線なら通過点の1点（0dBを横切る角周波数はK/T）。積分要素だけの図からはK/Tしか決まらない

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