複素インピーダンス Ż=12−j16 [Ω] の大きさ |Ż| はいくらか。

20Ω。|Ż|=√(12²+(−16)²)=√(144+256)=√400=20Ω。「4Ω」は実部と虚部を引き算した誤り、「28Ω」は12+16と実部・虚部の絶対値を足した誤り、「400Ω」は2乗和の平方根を取り忘れた誤り。

R=9Ω、誘導性リアクタンスXL=12Ωの直列回路に120Vの交流電圧を加えた。流れる電流の大きさはいくらか。

8.0A。Ż=9+j12 なので |Ż|=√(81+144)=15Ω、I=120/15=8.0A。「5.7A」は120/(9+12)と抵抗とリアクタンスを算術和にした誤り、「13.3A」は120/9とリアクタンスを無視した誤り、「0.53A」は|Ż|ではなく2乗和の225Ωで割った誤り。

電圧 V̇=100∠0° [V] を、複素インピーダンス Ż=4+j3 [Ω] の負荷に加えた。電流 İ を直交形式で表したものはどれか。

16−j12 A。İ=V̇/Ż=100/(4+j3)=100(4−j3)/(4²+3²)=100(4−j3)/25=16−j12 A。分母の共役 4−j3 を掛けて分母を実数にする。誘導性の負荷なので電流の虚部は負（電圧より遅れる）。「16+j12」は虚部の符号を逆にした誤り、「400+j300」は割らずに掛けた誤り、「12−j16」はRとXを入れ替えて Ż=3+j4 とした誤り。

電圧 V̇=100∠0° [V]、電流 İ=3+j4 [A] のとき、複素電力 S=V̇·İ*（İ*はİの共役）から求めた有効電力Pと無効電力Qの組み合わせはどれか。

P=300W、Q=−400var（進み）。İ*=3−j4 なので S=100(3−j4)=300−j400。P=300W、Q=−400var で、電流の虚部が正（電圧より進み）の容量性の負荷にあたり、Qは負（進み）になる。「P=300W、Q=+400var」は共役を取らずに V̇·İ=300+j400 と読んで遅れとした誤り、「P=400W、Q=300var」は実部と虚部を取り違えた誤り、「P=500W、Q=0」は皮相電力|S|=500VAを有効電力とした誤り。

R=20Ωの抵抗と、容量性サセプタンスB=0.12 Sのコンデンサを並列に接続し、50Vを加えた。電源から流れる電流の大きさはいくらか。

6.5A。Ẏ=G+jB=1/20+j0.12=0.05+j0.12 [S]、|Ẏ|=√(0.05²+0.12²)=0.13S、I=50×0.13=6.5A。抵抗の電流2.5Aとコンデンサの電流6Aは位相が90°ずれているので、算術和ではなくベクトル和（2.5²+6²=42.25の平方根=6.5）になる。「8.5A」は2.5+6と算術和にした誤り、「3.5A」は6−2.5と差を取った誤り、「42.25A」は2乗和の平方根を取り忘れた誤り。

相電圧 Ė_a=100∠0° [V] の対称三相電源（相順abc、Ė_b=100∠−120° V）がある。線間電圧 Ė_ab=Ė_a−Ė_b を極形式で表したものはどれか。

173∠30° V。Ė_b=100(−1/2−j√3/2) なので Ė_ab=100(3/2+j√3/2)=150+j86.6。|Ė_ab|=√(150²+86.6²)=173V、偏角=arctan(86.6/150)=30°。つまり線間電圧は相電圧の√3倍で、30°進む。「173∠−30°」は相順をacbと取った場合の値（進みと遅れを取り違えた誤り）、「100∠60°」は相電圧どうしの位相差を120°でなく60°とした誤り、「57.7∠30°」は√3倍ではなく1/√3倍にした誤り。

相電圧100V（線間電圧173V）の対称三相電源に、1相あたり Ż=12+j16 [Ω] の平衡負荷をY結線で接続した。三相の有効電力はいくらか。

900W。線電流は相電流に等しく、İ=100/(12+j16)=100(12−j16)/400=3−j4 A、大きさは5A。P=3×I²R=3×25×12=900W（検算：√3×173×5×0.6≒900W）。「300W」は1相分、「1,200W」は3I²X=3×25×16の無効電力[var]を有効電力とした誤り、「1,500W」は3×100×5の皮相電力[VA]を有効電力とした誤り。

交流ブリッジが平衡し、Ż₁Żₓ=Ż₂Ż₃ が成り立っている。Ż₁=30−j40 [Ω]、Ż₂=100 [Ω]、Ż₃=10+j5 [Ω] のとき、未知のインピーダンス Żₓ はいくらか。

4+j22 Ω。Żₓ=Ż₂Ż₃/Ż₁=100(10+j5)/(30−j40)=100(10+j5)(30+j40)/2500=0.04(300+j400+j150−200)=0.04(100+j550)=4+j22 Ω。検算：Ż₁Żₓ=(30−j40)(4+j22)=1000+j500、Ż₂Ż₃=1000+j500で一致。「20−j10」はŻ₁の共役で割った誤り、「5−j2.5」はŻ₁とŻ₂の位置を入れ替えた誤り、「80+j45」は積を和と差にして Ż₂+Ż₃−Ż₁ とした誤り。

R=20Ωの抵抗と誘導性リアクタンスXL=10Ωのコイルを並列に接続した。この並列回路の複素アドミタンス Ẏ はどれか。

0.05−j0.1 S。Ẏ=1/R+1/(jXL)=0.05−j(1/10)=0.05−j0.1 S。1/jは−jなので、コイルのサセプタンスは負になる。「0.05+j0.1」はコイルのサセプタンスの符号を逆にした（容量性にした）誤り、「0.04−j0.02」は並列なのに直列の Ż=20+j10 の逆数を取った誤り、「0.15S」は0.05+0.1と大きさを足した誤り。

電圧 V̇=400∠0° [V] を負荷に加えると、電流 İ=3−j4 [A] が流れた。複素電力 S=V̇·İ* から求めた力率・無効電力・位相の組み合わせはどれか。

力率0.6、Q=1,600var、遅れ。İ*=3+j4 なので S=400(3+j4)=1200+j1600。P=1200W、Q=1600var（正なので遅れ）、|S|=2000VA、力率=P/|S|=1200/2000=0.6。「力率0.8、Q=1,200var」は力率と無効率（Q/S）を取り違え、PとQも入れ替えた誤り、「Q=−1,600var、進み」は共役を取らずに V̇·İ=1200−j1600 と読んだ誤り、「Q=2,000var」は皮相電力|S|をQとし、力率も有効分でなく無効分の比（Q/|S|=0.8）で読んだ誤り。

電圧 V̇=100∠0° [V] を負荷に加えたとき、電流が İ=5+j5 [A] だった。この負荷の性質として正しいものはどれか。

容量性で、電流は電圧より45°進んでいる。電圧を基準（0°）にしたとき、電流 5+j5 は大きさ5√2A、偏角+45°で、電流が電圧より45°進んでいる。電流が進むのは容量性の負荷（コンデンサ的）。誘導性なら電流の虚部は負になる。「誘導性で虚部が正」は虚部の符号と進み遅れの対応を逆に覚えた誤り、「抵抗性」は実部が正であることだけを見て虚部を見落とした誤り、「誘導性で45°進んでいる」は誘導性と容量性の種別を取り違えた誤り。

抵抗6Ωとコイル（XL=8Ω）を直列にしたものに、さらに5Ωの抵抗を直列に接続した。合成インピーダンスの大きさ |Ż| はいくらか。

13.6Ω。Ż=(6+5)+j8=11+j8 [Ω]。|Ż|=√(121+64)=√185≒13.6Ω。直列は実部どうし・虚部どうしを足してから大きさを取る。「15.0Ω」は先に|6+j8|=10Ωとしてから10+5と大きさを足した誤り、「19.0Ω」は11+8と実部と虚部を算術的に足した誤り、「5.0Ω」は10−5と大きさを引き算した誤り。

角周波数 ω=1,000 rad/s で、静電容量 C=50μF のコンデンサの複素インピーダンス Ż_C はいくらか。

−j20 Ω。1/(ωC)=1/(1000×50×10⁻⁶)=1/0.05=20Ω。Ż_C=1/(jωC)=−j/(ωC)=−j20Ω。1/j=−jなので虚部は負で、電流は電圧より90°進む。「+j20Ω」はコイルと同じ+jにした符号の誤り、「+j0.05」はωC=0.05を逆数にせず、アドミタンスjωCの値をインピーダンスとした誤り、「−j0.05」は逆数を取らず、符号だけ負にした誤り。

電圧の瞬時値が v=100√2 sin(ωt+30°) [V] で表されるとき、この電圧の実効値フェーザ V̇ はどれか。

100∠30° V。実効値フェーザは、大きさを実効値（最大値÷√2）、偏角を初期位相にして V̇=100∠30° V。最大値は100√2≒141Vなので実効値は100V。「141∠30°」は最大値をそのまま大きさにした誤り、「70.7∠30°」は実効値100Vをさらに√2で割った誤り、「100∠−30°」は初期位相の符号を逆にした誤り。

理論・ 10 / 17

複素数・フェーザ（記号法）

読み終えると、こうなる

交流回路の問題を見たとき、ベクトル図を描く前に「まず複素数で式を立てる」という一手が選べるようになり、直列・並列・電力・三相・ブリッジが同じ道具で解ける

直交形式と極形式を相互に変換し、足し算は直交形式、掛け算・割り算は極形式で計算できる
R・L・Cの直並列回路の複素インピーダンスまたは複素アドミタンスを求め、電流のフェーザ（大きさと位相）を出せる
複素電力 S=V·I* から有効電力P・無効電力Q・力率を求め、Qの符号から遅れ・進みを判定できる
交流ブリッジの平衡条件を実部・虚部の2式に分けて、未知のインピーダンスを計算できる

考えてみよう

抵抗6Ωとコイル8Ω（誘導性リアクタンス）を直列につないで、100Vを加えた。電流は何Aか。

「6＋8＝14Ωだから、100÷14≒7.1A」と書いて、×になった経験はないだろうか。電流は10Aが正解だ。抵抗とコイルでは電圧と電流の「向き」が違うので、6と8は単純には足せない。

向きまで含めて一度に扱える道具が複素数だ。このトピックを読み終えるころには、交流回路の問題で「まず複素数で式を立てる」という一手を持てて、電流の大きさと位相が1行で出せるようになっている。

この記事の結論

交流の電圧・電流は、実効値を大きさにした複素数（フェーザ） $\dot V=V\angle\theta$ で書く。
素子は、抵抗が $R$ 、コイルが $j\omega L$ 、コンデンサが $\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}$ 。足し合わせた複素インピーダンスは $\dot Z=R+j\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)$ になる。
直列はインピーダンス $\dot Z$ を足し、並列はアドミタンス $\dot Y=1/\dot Z$ を足す。電力は $\dot S=\dot V\dot I^{*}$ で求める。
大きさ（絶対値）を取るのは最後に1回だけ。途中で絶対値どうしを足さない。

jの意味と、直交形式・極形式

電気では $i$ は電流の記号なので、虚数単位には $j$ （ $j^{2}=-1$ ）を使う。複素平面では、 $j$ を掛けると点が反時計回りに90°回転する。

複素数の書き方は2通りあり、どちらも同じ点を指している。

\dot Z=a+jb\ (\text{直交形式}) \quad\Longleftrightarrow\quad \dot Z=|\dot Z|\angle\theta=|\dot Z|(\cos\theta+j\sin\theta)\ (\text{極形式})

|\dot Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad \theta=\arctan\frac{b}{a}\ (\text{象限を確認する})

偏角は $\arctan$ の値をそのまま採らず、その複素数が複素平面のどの象限にあるかを確かめて決める（たとえば $-3+j3$ は第2象限にあり、 $\arctan(3/(-3))=-45^\circ$ に $180^\circ$ を足した $135^\circ$ が偏角になる）。たとえば $3+j4$ は第1象限にあり、 $|\dot Z|=5$ 、 $\theta\approx53.1^\circ$ で $5\angle53.1^\circ$ だ。

計算の使い分けは次のとおり。

計算	向く形式	やり方
足し算・引き算	直交形式	実部どうし、虚部どうしを足し引き
掛け算	極形式	大きさは掛け、角度は足す
割り算	極形式	大きさは割り、角度は引く

直交形式のまま割るときは、分母の共役（虚部の符号を反転した数）を分母と分子に掛けて分母を実数にする。たとえば $\dfrac{1}{3+j4}=\dfrac{3-j4}{(3+j4)(3-j4)}=\dfrac{3-j4}{25}$ 。

足し算は、見かけは算術の和でも、複素平面ではベクトルの和になっている。だから足していいのは実部どうし・虚部どうしだけで、大きさ（絶対値）どうしを足した値は合成後の大きさにならない。絶対値を取るのは、最後に1回だけだ。

フェーザ——実効値を大きさにした回転ベクトル

正弦波は、原点のまわりを角速度 $\omega$ で回るベクトルの影として表せる。回路計算では、同じ $\omega$ で回っているベクトルをある瞬間で止めた静止ベクトルとして扱い、その大きさには最大値ではなく実効値を使う。大きさと位相で決まるこの量がフェーザだ。

v=\sqrt{2}\,V\sin(\omega t+\theta)\quad\Longleftrightarrow\quad \dot V=V\angle\theta

たとえば $v=100\sqrt{2}\sin(\omega t+30^\circ)$ [V] の実効値フェーザは $\dot V=100\angle30^\circ$ V（最大値の141Vでも、さらに割った70.7Vでもない）。電源の周波数がすべて同じなら $\omega t$ は省略でき、回路のどこでも電圧・電流の大きさと位相差だけを追えばよい。以降の計算では、電源電圧を位相の基準（ $\angle0^\circ$ ）に置く。

素子の複素表示と、複素インピーダンス

抵抗はそのまま実数 $R$ 。コイルは電圧が電流より90°進むので $j\omega L$ （ $+j$ ）、コンデンサは電流が電圧より90°進むので $\dfrac{1}{j\omega C}=-\dfrac{j}{\omega C}$ （ $-j$ ）で表す。

素子	複素インピーダンス	虚部の符号	電流の位相（電圧基準）
抵抗 $R$	$R$	なし	同位相
コイル $L$	$j\omega L$	正	90°遅れ
コンデンサ $C$	$-j/(\omega C)$	負	90°進み

R・L・C直列なら、足し合わせて次のようになる。実部が抵抗分、虚部がリアクタンスで、インピーダンスは抵抗（実部）とリアクタンス（虚部）をあわせた複素数ベクトルとして表せる。

\dot Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right),\qquad |\dot Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}

オームの法則は複素数でもそのまま成り立つ。 $\dot V=\dot Z\,\dot I$ 。このとき電流の偏角は電圧の偏角から $\dot Z$ の偏角を引いたものになり、力率は $\cos\theta=R/|\dot Z|$ だ。前のトピック「RLC直列回路とベクトル図」で図で追った内容を、複素数では式1本にまとめられる。

並列はアドミタンス——Y=1/Z=G+jB

並列回路は、インピーダンスの逆数のアドミタンス $\dot Y=1/\dot Z$ を使うと足し算で済む。実部がコンダクタンス $G$ 、虚部がサセプタンス $B$ で、単位はどちらもS（ジーメンス）。

\dot Y=\frac{1}{R}+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C=G+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)

コンデンサのサセプタンスは正、コイルは負。インピーダンスと逆向きの符号なので、ここを取り違えやすい。

直列は $\dot Z$ を足し、並列は $\dot Y$ を足すのが基本だ。ただし、これは式が簡単になる目安で、問題によって選び分ける。

直並列を複素数で解く手順

位相の基準を決める。電圧が与えられていれば $\dot V=V\angle0^\circ$ とする。
各素子を $R$ 、 $j\omega L$ 、 $-j/(\omega C)$ で書く（並列部分は $G$ 、 $-j/(\omega L)$ 、 $j\omega C$ ）。
直列は $\dot Z$ を、並列は $\dot Y$ を足して合成する。2並列なら $\dot Z=\dot Z_1\dot Z_2/(\dot Z_1+\dot Z_2)$ も使える。
$\dot I=\dot V/\dot Z$ （または $\dot I=\dot Y\dot V$ ）で電流のフェーザを出す。
大きさと偏角に直し、電流が遅れか進みかを検算する。誘導性なら電流の虚部は負になる。

例題1：RL直列の電流フェーザ

$R=6\ \Omega$ 、 $\omega L=8\ \Omega$ の直列回路に $\dot V=100\angle0^\circ$ V を加えたとき、電流 $\dot I$ を求めよ。

\dot Z=6+j8=10\angle53.1^\circ\ \Omega,\qquad \dot I=\frac{100}{6+j8}=\frac{100(6-j8)}{6^{2}+8^{2}}=6-j8=10\angle-53.1^\circ\ \text{A}

電流の大きさは10A、位相は電圧より53.1°遅れる（誘導性）。冒頭の「100÷14」は、リアクタンスと抵抗を算術和にした誤りだった。力率は $\cos53.1^\circ=0.6$ 。

例題2：RC並列のアドミタンスと合成電流

$R=25\ \Omega$ の抵抗と、サセプタンス $\omega C=0.03$ S のコンデンサを並列にして、 $\dot V=100\angle0^\circ$ V を加えた。電源から流れる電流を求めよ。

\dot Y=\frac{1}{25}+j0.03=0.04+j0.03\ \text{S},\qquad \dot I=\dot Y\dot V=100(0.04+j0.03)=4+j3\ \text{A}

$|\dot I|=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$ A。抵抗の電流4Aとコンデンサの電流3Aを算術和にした7Aは誤りで、位相が90°ずれているのでベクトル和になる。電流の虚部が正なので、電流は電圧より進んでいる（容量性）。

複素電力——電流のほうを共役にする

電圧 $\dot V=V\angle\theta_1$ 、電流 $\dot I=I\angle\theta_2$ をそのまま掛けると、偏角が $\theta_1+\theta_2$ になって位相差にならない。電流のほうを共役にして掛けると、位相差 $\theta_1-\theta_2$ が出る。

\dot S=\dot V\,\dot I^{*}=VI\angle(\theta_1-\theta_2)=P+jQ

P=VI\cos(\theta_1-\theta_2),\qquad Q=VI\sin(\theta_1-\theta_2),\qquad |\dot S|=VI=\sqrt{P^{2}+Q^{2}},\qquad \cos\varphi=\frac{P}{|\dot S|}

実部が有効電力、虚部が無効電力、大きさが皮相電力。無効電力は、電流が電圧より遅れるとき（ $\theta_1>\theta_2$ ）に正とする（遅れ無効電力を正とする取り決め）。進み電流のときは $Q$ が負になる。

例題3：複素電力から力率とQ

ある負荷に $\dot V=200\angle0^\circ$ V を加えたところ、 $\dot I=8-j6$ A が流れた。有効電力・無効電力・力率を求めよ。

\dot S=\dot V\dot I^{*}=200(8+j6)=1600+j1200

$P=1600$ W、 $Q=1200$ var（正なので遅れ）、 $|\dot S|=2000$ VA、力率は $1600/2000=0.8$ 。電流の虚部が負（遅れ）で、 $Q$ が正になっている点で、符号が整合している。

共役の向きを間違えても、実部の $P$ は同じ値になる。違いが出るのは $Q$ の符号だ。検算は「遅れ電流（電流の虚部が負）なら $\dot S$ の虚部は正」の一点で足りる。符号が逆に出たら、共役を取り忘れたか、電圧のほうを共役にしている。問題文に $\dot S$ の定義が書いてあれば、その定義に従う。

三相交流の入口——線間電圧は相電圧の√3倍で30°進む

対称三相電源は、大きさと周波数が同じで位相が120°ずつずれた3つの電圧からなる。a相を基準に、b相がa相より、c相がb相より遅れる順序（相順abc）なら、次のように書ける。

\dot E_a=E\angle0^\circ,\qquad \dot E_b=E\angle-120^\circ,\qquad \dot E_c=E\angle120^\circ

線間電圧は相電圧の差で、複素数なら1行で計算できる。

\dot E_{ab}=\dot E_a-\dot E_b=E\left(1+\frac12+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=E\left(\frac32+j\frac{\sqrt3}{2}\right)=\sqrt{3}\,E\angle30^\circ

相順abcのとき、線間電圧は相電圧に対して大きさが $\sqrt3$ 倍、位相が30°進む。Y結線の平衡負荷 $\dot Z_{Y}$ なら、各相に相電圧がかかり、1相分の電流は $\dot I_a=\dot E_a/\dot Z_Y$ だ。たとえば $E=100$ V、 $\dot Z_Y=12+j16\ \Omega$ なら

\dot I_a=\frac{100}{12+j16}=\frac{100(12-j16)}{400}=3-j4\ \text{A},\qquad P=3|\dot I_a|^{2}R=3\times25\times12=900\ \text{W}

と求まる（検算： $\sqrt3\times173\times5\times0.6\fallingdotseq900$ W）。三相の線間電圧・線電流・結線の別の整理は「三相交流とY-Δ」で扱っている。

交流ブリッジ——平衡条件は実部と虚部の2式

交流ブリッジの平衡は、ホイートストンブリッジと同じ対辺の積の形で書ける。未知の $\dot Z_x$ と向かい合う辺を $\dot Z_1$ 、残る対辺を $\dot Z_2$ ・ $\dot Z_3$ とすると

\dot Z_1\dot Z_x=\dot Z_2\dot Z_3

解法は3段階だ。①各辺を複素数で書く。②対辺の積を等しいとおく。③実部どうし、虚部どうしを等しいとおいて未知数を求める。極形式で書けば「大きさの積が等しい」と「偏角の和が等しい」の2条件になる。式は1本でも条件は2つなので、可変素子が2つ必要になる（詳しい回路例は「電気計測」の交流ブリッジの節）。

$\dot Z_1=30-j40$ 、 $\dot Z_2=100$ 、 $\dot Z_3=20+j10$ のとき、 $\dot Z_x=\dot Z_2\dot Z_3/\dot Z_1=100(20+j10)(30+j40)/2500=0.04(600+j800+j300-400)=0.04(200+j1100)=8+j44\ \Omega$ 。検算として $\dot Z_1\dot Z_x=(30-j40)(8+j44)=2000+j1000$ 、 $\dot Z_2\dot Z_3=2000+j1000$ が一致する。

共振と複素数

$\dot Z$ の虚部が0になるのが直列共振（ $\omega L=1/\omega C$ ）、 $\dot Y$ の虚部が0になるのが並列共振（反共振、コイルが理想的な場合）の条件だ。「共振回路」の内容は、複素数で見るとこの一言にまとまる。

よくある間違い

間違い	正しくは
直列で $\lvert\dot Z_1\rvert+\lvert\dot Z_2\rvert$ を合成値にする	先に $\dot Z_1+\dot Z_2$ を実部・虚部で足し、最後に大きさを取る
コンデンサを $+j/(\omega C)$ 、コイルを $-j\omega L$ とする	コイルが $+j\omega L$ 、コンデンサが $-j/(\omega C)$
並列を $\dot Z$ のまま足す	並列は $\dot Y$ を足す（または $\dot Z_1\dot Z_2/(\dot Z_1+\dot Z_2)$ ）
複素電力で共役を取らない、または電圧のほうを共役にする	$\dot S=\dot V\dot I^{*}$ 。遅れ電流で $Q$ が正になるか確認
最大値をそのままフェーザの大きさにする	フェーザの大きさは実効値（最大値÷ $\sqrt2$ ）

実務との接点——力率改善コンデンサの容量

誘導性負荷の力率改善では、並列に入れるコンデンサのサセプタンスで、負荷のサセプタンスの虚部（負）を打ち消す。アドミタンスの虚部を0にすると考えれば、必要な容量が1行で出る。JEEAの解説では、50Hz・100V・10A・力率85%の誘導性負荷に対し、力率を100%にするコンデンサ容量がおよそ170μFと求められている。この数値は無効電力で求めても同じになる（ $Q=100\times10\times\sin(\arccos0.85)\fallingdotseq527$ var、 $C=Q/(\omega V^{2})\fallingdotseq168\ \mu\text{F}$ ）。力率改善の考え方そのものは「交流電力と力率」で扱っている。

出題者のワナ — ここで受験者を転ばせにくる

この論点は、知っているだけでは足をすくわれる。試験でよく仕掛けられる崩し方を、先に知っておこう。

複素数のまま絶対値を足す（|Ż₁|+|Ż₂|を直列の合成インピーダンスにする）

なぜ引っかかるインピーダンスを「Ωの数字」としか見ないと、直流の直列抵抗のように大きさどうしを足したくなる。だが抵抗分（実軸）とリアクタンス分（虚軸）は複素平面で向きが違うため、足してよいのは実部どうし・虚部どうしであり、大きさ（絶対値）は合成したあとで1回だけ取る。

見破り方直列なら先に Ż₁+Ż₂ を実部・虚部の形で足してから√(実部²+虚部²)を計算する。大きさだけで足すと、向きが同じでない限り本来の値より大きく出る。出た値が各枝の|Ż|の和と同じなら、足し方を疑う。
jの符号を取り違える（コイルを−j、コンデンサを＋jとする。あるいは1/(jωC)をjωCと書く）

なぜ引っかかるコイルは電流が遅れる（虚部が正のインピーダンス）、コンデンサは電流が進む（虚部が負）という位相の知識と、jの符号の対応がつながっていないと、式を立てた時点で符号がずれる。コンデンサのアドミタンスjωCとインピーダンス1/(jωC)の混同も同じ型の間違いだ。

見破り方「コイルはjωL（＋j）、コンデンサは1/(jωC)=−j/(ωC)（−j）」を式として固定する。答えが出たら、誘導性の負荷なら電流の虚部が負（電圧基準で電流が遅れる）、容量性なら正になるかを検算する。
複素電力を求めるときに共役を取らない、または電圧のほうを共役にして符号が逆になる

なぜ引っかかるS=V̇·İ のまま掛けると、実部は EIcos(θ₁+θ₂) になり位相差が足し算になってしまう。電流を共役にし忘れると、電圧の位相が0°以外のときは有効電力が狂う。電圧を基準の0°に置いたときは有効電力Pは変わらないが、無効電力Qの符号（遅れか進みか）が逆に出る。

見破り方必ず S=V̇·İ*（電流の虚部の符号を反転して電圧に掛ける）とする。基準を電圧∠0°に置き、遅れ電流（誘導性）ならSの虚部が正になるかを確認する。問題文でSの定義が与えられているときは、その定義に従う。

参考文献・出典

第三種電気主任技術者の試験概要｜電気技術者試験センター（「理論」科目の出題範囲（電気理論、電子理論、電気計測及び電子計測））
ベクトルの複素数表現と、複素数による合成計算例｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（電気工学ではiが電流の記号なので虚数単位にjを使うこと、jを掛けると座標上で反時計回りに90°回転すること、偏角は複素数がどの象限にあるかを確かめて決めること、複素数の足し算は見かけは算術和でも実際はベクトル和であること）
正弦波交流のベクトル（フェーザ）表現と複素平面｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（回路計算では回転ベクトルの一状態を静止ベクトルとして扱い、ベクトルの大きさは最大値でなく実効値で表すこと、大きさと位相で決まる正弦波交流の量をフェーザと呼ぶこと。コイルは電圧が電流より進み、コンデンサは電流が電圧より進むこと（式は画像のため、本文の式は確認していない））
回路素子の複素数表示と正弦波交流回路計算｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（抵抗はそのまま実数、コイルのリアクタンスωLには＋j、コンデンサのリアクタンスには−jを付けること。交流回路でも各部の電圧降下を算術的に足して電源電圧に等しいとするのは直流の感覚であること。この方法がスタインメッツの記号法（1893年発表）であること）
実践的な複素数計算法（1）インピーダンスとアドミタンスの使い分け｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（直列はインピーダンス、並列はアドミタンスで計算すると式が簡単になる（ただし目安であり、問題によって選ぶこと）。アドミタンスの実部がコンダクタンス、虚部がサセプタンスで、サセプタンスは誘導性で負、容量性で正。力率改善用コンデンサの容量をアドミタンスの虚部を0にして求める例）
理論計算の落とし穴(5)複素電力による有効電力・無効電力の計算｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（電圧と電流を複素数で単純に掛けると位相差が θ1+θ2 になり誤り。電流側を共役複素数にして掛けると、実部が有効電力 EIcos(θ1−θ2)、虚部が無効電力 EIsin(θ1−θ2)、大きさが皮相電力になること。電力の計算では必ず共役を使うこと（式の一部は画像のため、本文の式の形は確認していない））
「二電力計法」適用上の留意点（電気技術解説講座計測）｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（複素電力 K=P+jQ を相電圧と線電流の共役の積の和で表し、遅れ無効電力を正とする取り決め。三相平衡負荷の P=√3VIcosθ、Q=√3VIsinθ）
三相交流回路２（対称三相回路のΔ－Y変換と相順との関係）｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（相順abcのとき、線間電圧Ė_abは相電圧Ė_aに対して位相が30°進み、大きさが√3倍になること）
三相交流回路１～対称三相交流の相順～｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（対称三相交流は最大値と角周波数が等しく初期位相が120°ずつずれた3つの正弦波であること。b相がa相より、c相がb相より遅れる順序を相順abcと呼ぶこと）
実践的な複素数計算法（2）交流ブリッジの平衡条件計算｜音声付き電気技術解説講座｜公益社団法人日本電気技術者協会（解法の手順は、各辺のインピーダンスを複素数で表す、対辺の積を等しいとおく、実部どうし・虚部どうしを等しいとおいて未知数を求める、の3段階であること。電験の時間制約下では③の数式処理に慣れておくこと）
変圧器のインピーダンス（FAQ）｜三菱電機 FA （インピーダンスは、抵抗（実部）とリアクタンス（虚部）をあわせた複素数ベクトルとして表せること）
1.4 交流回路の基本要素（電気の基礎）｜三菱電機 FA （抵抗とリアクタンスを合成したものがインピーダンスで、両者はベクトルの方向が違うので算術和ではなくベクトル和で求めること。この資料自体はjによる複素数表記を扱っていない）
学生のページ「Q」のQ&A（Q値，共振曲線，半値幅，減衰振動）｜電気学会誌 Vol.122 No.1（2002）（LCR直列回路の複素インピーダンス Z=R+j(ωL−1/ωC) とその絶対値 √(R²+(ωL−1/ωC)²)。リアクタンスはωが小さいと負（容量性）、大きいと誘導性になること）
令和7年度上期第三種電気主任技術者試験理論（問15 平衡三相負荷と複素インピーダンス）｜電気技術者試験センター（問15（相電圧が与えられた対称三相電源に、複素インピーダンスの負荷をY結線で接続した回路について、線電流と相電流が出題された。出題の型の確認のみで、数値・文言は転載していない））

理解度チェック（14問）

このトピックの内容がどれくらい身についたか、14問で確認しよう。内訳は基本6問・応用5問・ひっかけ3問。基本が解けたら、条件を足した応用と、本番で足をすくいにくるひっかけまで踏み込む。

/ 14 問正解

覚えておきたいポイント

電圧・電流は実効値を大きさにしたフェーザ V̇=V∠θ で表す。抵抗はR、コイルはjωL、コンデンサは1/(jωC)=−j/(ωC)。複素インピーダンスは Ż=R+j(ωL−1/ωC)
足し算・引き算は直交形式（a+jb）、掛け算・割り算は極形式（大きさ∠角）が楽。大きさ|Ż|=√(a²+b²)は最後に1回だけ取る。絶対値どうしを足してはいけない
直列はインピーダンスを足し、並列はアドミタンス Ẏ=1/Ż=G+jB を足す。コンデンサのBは正、コイルのBは負
複素電力は S=V̇·İ*（電流のほうを共役にする）。実部が有効電力P、虚部が無効電力Q。遅れ電流のときQは正、進み電流のときQは負
交流ブリッジの平衡条件 Ż₁Żₓ=Ż₂Ż₃ は複素数1本の式で、実部どうし・虚部どうしの2つの実数条件を表す

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