管内流れの圧力損失 — 内径が一定の直管で、なぜ先へ行くほど圧力が足りなくなるのか

まず一言で

内径が一定の円管の直管部で、摩擦による圧力損失と損失水頭は、次の式で表される（ダルシー・ワイスバッハの式）。

$L$ は管の長さ、$d$ は内径、$v$ は平均流速、$\rho$ は密度。$\lambda$（ラムダ）が管摩擦係数、$h_L$ が損失水頭で、前のトピックと同じく $\Delta p = \rho g h_L$ の関係にある。

• 損失は、管が長いほど、流速が速いほど、内径が小さいほど大きい。単位長さ当たりは、$\lambda$ と密度が同じなら、流速の2乗に比例し、内径に反比例する
• $\lambda$ は定数ではない。層流なら $64/Re$、乱流なら $Re$（レイノルズ数）と管内面の粗さで決まる
• 曲がりや弁などの損失（局部損失）は、直管の損失に別に足す
• 前のトピックの、吸込み・吐出しとも大気開放のポンプ設備の「全揚程＝実揚程＋配管損失水頭＋吐出し速度水頭」で、配管損失水頭は直管の損失と局部損失の和だ（筆者の整理）

令和8年度の問題Aの No.2 が、この式そのものだ。円管の直管で、管摩擦係数・内径・流速の違う4通りから、単位長さ当たりの損失が最大のものを選ぶ。公式の正答肢は (3)。

仕組み① なぜ、直管で圧力が下がるのか

壁で、水は止まる

流体は、壁に付着して動かない（付着条件。no-slip condition）。管の中心は速く、壁際は遅いので、隣り合う層の間にずれが生じ、粘性により、流れを遅らせる向きの摩擦応力が壁に働く。Kudela の講義ノートは、付着条件のために、どんなに滑らかな管でも損失はゼロにならない、と書く。

力のつり合い

長さ $L$、内径 $d$ の水平な直管の区間を考える。入口付近を除く、十分に発達した流れでは、内径が一定なら流速は変わらず、水は加速も減速もしない。だから、力はつり合う。上流側から圧力が押す力と、下流側から圧力が押し返す力の差が、壁の摩擦力と等しい。壁の単位面積当たりの摩擦応力を $\tau$、断面積を $A=\dfrac{\pi d^2}{4}$、壁の面積を $\pi d L$ とすると、

この力のつり合いは標準的な導出で、式の形としては出典資料になく、筆者が書いた（de Souza Mendes のノートは、層流では圧力の力と粘性力が正確につり合うと書く）。式から、なぜ損失が内径に反比例するかが読める。圧力が押す力は断面積（$d^2$ に比例）、摩擦力は壁の面積（$d$ に比例）に働く。太い管ほど、水の断面に対して壁の割合が小さいので、同じ摩擦応力でも、必要な圧力差が小さくなる。

ベルヌーイの式に、損失の項を足す

前のトピックのベルヌーイの式は、圧力・速度・高さの3つの水頭の和（全水頭）が一定だと言った。実際の配管では、ポンプなどのない区間で、全水頭が流れの向きに減っていく（Kudela のノートは、流れに沿って全水頭は減り、上流の全水頭 $H_1$ が下流の $H_2$ より大きいと書く）。その差が損失水頭だ。内径が一定の水平管なら、速度水頭も高さも同じなので、損失水頭は圧力水頭の差、$(p_1-p_2)/\rho g$ に等しい。鉛直や傾斜のある管では、圧力の差には高さの差の分も入る（前のトピックの鉛直管のとおり）。

これで、直管で圧力が下がる理由を、壁の摩擦と力のつり合いで言える。

仕組み② 管摩擦係数 λ — 「2乗」の約束と、その中身

力のつり合いの式 $\Delta p = 4\tau L/d$ に、$\tau = (\lambda/8)\rho v^2$ を入れると、冒頭の式になる。つまり、$\lambda$ は、壁の摩擦応力 $\tau$ を、流れの勢い $\rho v^2$ で割って8倍した無次元数だ（$\lambda = 8\tau/(\rho v^2)$）。名古屋大学の試験の解答例の $\lambda = 8(u_*/V)^2$ と同じ内容で、$u_*$（摩擦速度）は $\sqrt{\tau/\rho}$ と定義される。この定義は出典になく、筆者の補足だ。実験では、産業技術総合研究所の資料のとおり、圧力の傾き $\Delta p/L$ を測って、$\lambda = \dfrac{2d}{\rho v^2}\cdot\dfrac{\Delta p}{L}$ から求める。

では、損失は本当に $v^2$ に比例するのか。ここに、$\lambda$ の中身が効く。

$v^2$ は、式を書くときの約束で、本当の流速への依存は $\lambda$ の中に隠れている。令和8年度の No.2 では、$\lambda$ が数字で与えられていた。そのような問題では、流速は2乗でよい。

仕組み③ λ を決めるもの — レイノルズ数と粗さ

層流と乱流を分ける数

レイノルズ数 $Re = vd/\nu$ は、流れの勢い（$vd$）を、流体の粘り気（動粘度 $\nu$、粘度を密度で割ったもの）で割った数だ（当サイトの読み）。水の動粘度は約 $1.0\times10^{-6}$ m²/s（20 ℃で $1.0034\times10^{-6}$。ISO/TR 3666）。

• $Re$ が約2300より小さいと層流（水が整然と層をなして流れる）。およそ2100〜4000は遷移域で、層流にも乱流にもなりうる。遷移域より大きい側は、Kudela のムーディ線図では層流でない範囲（Re が 4×10³ から 10⁸）で、本文では乱流（渦を伴って混ざりながら流れる）として扱う。Kudela のノートは、Re が 2300 より小さいときを層流、2100 から 4000 の間を遷移域と書く（2100〜2300 は両方に入る）。本文では層流の目安に約2300を使う
• たとえば内径100 mm の管を、水が 0.5 m/s で流れるだけで、$Re = 0.5\times0.1/(1.0\times10^{-6}) = 50{,}000$。層流の目安をはるかに超える

層流なら 64/Re

層流では、ハーゲン・ポアズイユの式（de Souza Mendes のノートの式(1)）から $\lambda = 64/Re$ が出る。粘度 $\mu$ の流体の流量 $Q$ は $Q = \pi d^4\Delta p/(128\mu L)$ で、$Q = \pi d^2 v/4$ を入れると $\Delta p = 32\mu L v/d^2$。これを $\lambda$ の定義に入れると $64/Re$ になる（筆者の変形）。管内面の粗さは入らない（Kudela）。

乱流なら、粗さが効く

乱流では、$\lambda$ は $Re$ と、相対粗さ $\varepsilon/d$（管内面の凹凸の代表値 $\varepsilon$ を、内径で割った値）で決まる。コールブルックの式がこれを表し、ムーディ線図は、その式と $64/Re$ を1枚の図にしたものだ。$\varepsilon$ の代表値は、商業鋼管で 0.045 mm、引抜管で 0.0015 mm、プラスチックは滑らか（0）とされる。ただし、Kudela は、これらの値は実測値ではなく、測定値の相関から作られたもので、「等価な」粗さと呼ばれることもあり、単なる代表値とみなすとよい、と断っている。

図は、コールブルックの式で筆者が計算した。$Re$ が大きいと $\lambda$ は小さくなり、十分大きくなると、粗さ $\varepsilon/d$ だけで決まる値に近づく（Kudela）。図では、粗さが大きいほど、低い $Re$ で近づく。

これで、$\lambda$ を、層流なら $64/Re$、乱流なら $Re$ と粗さから読める。コールブルックの式は両辺に $\lambda$ が出てくるので、繰り返し計算が要る（陽に解ける近似式として Haaland の式がある。Kudela）。令和8年度の No.2 では $\lambda$ が与えられていた。与えられないときの読み方が、この節の内容だ。

数で追う — 例題と手順

数値は筆者が作った例だ。水の密度は 1000 kg/m³、動粘度は 1.0×10⁻⁶ m²/s、重力加速度は 9.8 m/s²。検算は Python のスクリプトで行った。

例題① 4つの条件から、損失が最大のものを選ぶ（No.2 の型）

長さ・密度が同じ4本の水平な直管で、管摩擦係数・内径・流速が次のとき、単位長さ当たりの圧力損失が最大なのは。

手順は3手。①式 $\Delta p/L = \lambda\rho v^2/(2d)$ を書く。②共通の $\rho/2$ を落とす。③$\lambda v^2/d$ を4つ並べる（内径は mm のままでよい。比べるだけなので）。答えは (a)。流速を2乗しないと (d) を選ぶ。

例題② 流量を決めたまま、内径を変える

流量 $Q$ が決まっていると、流速は $v = 4Q/(\pi d^2)$。式に入れて整理すると、

標準的な式で、産業技術総合研究所の資料にある、$\lambda$ を $Q$ で表した式を、$\Delta p/L$ について解いた形だ（変形は筆者）。$\lambda$ が同じとみなせるなら、直管の損失は、内径が同じで流量が2倍なら4倍。流量が同じで内径が半分なら32倍、内径が10%大きいだけで 1/1.61（約38%減）。

冒頭の問いに、実際の値で答える。商業鋼管（Kudela の表の $\varepsilon = 0.045$ mm）で $Q = 4$ L/s のとき、内径 100 mm では流速 0.51 m/s、$\lambda = 0.0223$、損失は 29 Pa/m。50 mm では流速 2.04 m/s、$\lambda = 0.0218$ で 904 Pa/m。比は約31倍で、32倍にほぼ等しい（内径が変わっても $\lambda$ はあまり変わらないため）。

例題③ 前のトピックの「仮の 3.0 m」を計算する

前のトピックの例題④は、損失水頭を説明用に仮に 3.0 m と置いた。同じ設備で計算する。実揚程 15 m、吐出し管は商業鋼管（内径 100 mm、粗さ ε＝0.045 mm。Kudela の表の値）、流量 0.020 m³/s。管は直管 50 m に、入口1か所、標準エルボ4個、全開の玉形弁1個。

1. 流速：$v = 0.020/(\pi\times0.100^2/4) = 2.55$ m/s、速度水頭 $v^2/2g = 0.331$ m
2. レイノルズ数：$Re = 2.55\times0.100/(1.0\times10^{-6}) \approx 2.55\times10^5$（2300の約110倍）で乱流。$\varepsilon/d = 0.045/100 = 0.00045$
3. 管摩擦係数：コールブルックの式を繰り返し計算して $\lambda = 0.0182$（Haaland の式でも 0.0180）。図の点
4. 直管の損失水頭：$h = 0.0182\times(50/0.100)\times0.331 = 3.0$ m。圧力では約 29.5 kPa
5. 局部損失水頭：局部損失は、速度水頭に損失係数 $\zeta$ を掛けて $h = \zeta v^2/2g$ と表す（Kudela は $K_L$ と書く）。Kudela の例題3が使っている値は、入口 0.5、標準エルボ 0.9、全開の玉形弁 10（入口の形は書かれていない）。Kudela は、損失係数は管の大きさと関係づけられ、弁のデータは製造者の設計にある程度左右される、と書く。ここでは、その値をそのまま使う。合計 $\zeta = 0.5 + 0.9\times4 + 10 = 14.1$ なので、$14.1\times0.331 = 4.7$ m
6. 全揚程：$15 + 0.33 + (3.0 + 4.7) = 23.0$ m

直管を 50 m としたので、前のトピックの仮の 3.0 m は、直管の分だけにちょうど当たる。局部損失は約4.7 mで、直管の1.5倍強。合計は約7.7 mになり、全揚程は、仮の 18.3 m より約4.7 m高い。Kudela は、弁や曲がりの損失が、長い直管より大きくなることがある、と書く。

局部損失は、同じ損失水頭になる直管の長さ（相当管長）に置き換えて、直管に足すこともできる。$\zeta v^2/2g = \lambda (L_e/d)\, v^2/2g$ とおくと $L_e = \zeta d/\lambda$（筆者の導出）。玉形弁は $10\times0.100/0.0182 \approx 55$ m。ステンレス協会のマニュアルの表2.5-2は、ステンレス鋼管の100Aで、玉形弁を直管 49.2 m、90°エルボを 3.77 m としていて、桁が合う。ただし、表の弁の値は消防庁告示第38号からの抜粋、エルボの値はステンレス協会の計算で、本文の損失係数から出した値とは前提が違う。弁の値は製造者の設計にある程度左右される（Kudela）。

これで、前のトピックの全揚程の式に、計算した損失水頭を入れられる。

現場とつなぐ

管径は、損失を目安に選ぶ。 ステンレス協会のマニュアルは、管径の決定に多く使われる等摩擦損失法を紹介している。単位長さ当たりの摩擦損失をある一定値に設定して、それに対応する管を選ぶ方法だ。この方法では流量が増えると流速も増すので、流速にも上限を設けて併用する。同資料の空調配管の試算は、単位摩擦損失圧力を 440 Pa/m、流速を 2.0 m/s（銅管は 1.4 m/s）とし、一般配管用ステンレス鋼鋼管には 3.5 m/s も加えている。この試算はヘーゼン・ウィリアムスの式によるもので、同資料の流量線図は、ダルシー・ワイスバッハの式でも作られている（業界団体の資料で、公的な設計基準ではない。流速の上限は設計図書の指定に従う）。

計算に使うのは、内径だ。 同じマニュアルは、呼び径が外径・内径のいずれとも一致しないこと、管径を決める流量計算は内径を基準にすることを書く。同じ呼び径でも、ステンレス鋼管は炭素鋼管より内径が大きく、このことなどから、同じ流量に対して小さな管径を選べる、とも書く。$\lambda$ が同じとみなせるとき、流量が同じなら、直管の損失は内径の5乗に反比例する。内径が2%違えば、直管の損失は約10%違う（$1.02^5 = 1.10$）。

損失は、ポンプの仕事で払う。 圧力損失が $\Delta p$、流量が $Q$ のとき、損失で失われる動力は $Q\times\Delta p$（筆者の導出。J-Net21 の $P = k\times Q\times H$ と同じ形）。例題③の全損失は、約 0.020 m³/s × 75 kPa ＝ 1.5 kW だ。これを供給するのは、ポンプを回す電動機で、効率の分だけ入力は大きくなる。J-Net21 は、配管の損失と吐出し速度水頭を、流量の2乗に比例する変動抵抗と呼ぶ（J-Net21 は、本文の文章では条件を書いていない。本文の表のとおり、配管の損失が流量の2乗に比例するのは、λ が一定とみなせるときだ。筆者の補足）。実揚程がゼロの密閉回路（冷水の循環など）では、全揚程がその変動抵抗だけになる（筆者の読み）。ポンプの電源・制御まわりの電材は、サイト内の水道工事で使う電材にまとめてある（このトピックの数値の根拠ではない）。

ここで扱ったのは、丸い管の水だ。ダクトの圧力損失（矩形ダクトの扱いを含む）は、このトピックでは扱っていない。給水管の流量の見積もり（同時使用率）は、給水方式のトピックで扱う予定だ。

試験での出方とワナ

出題の型

令和8年度の問題Aの No.2 は、先に書いたとおり、管摩擦係数・内径・流速の違う4通りから、単位長さ当たりの損失が最大のものを選ぶ形だった（ダルシー・ワイスバッハの式による）。式の形を知っていれば、計算は例題①の3手で終わる。令和8年度の4つの組合せは、λ が大きく、内径が小さく、流速も大きいものが1つあり、答えがその1つに決まる並びだった。3つの向きがそろわない並びでも解けるように、λv²/d を計算する習慣をつけておく。

ワナ

• 流速を2乗し忘れる、内径を分子に置く。 流速は2乗、内径は割り算。λ や流速だけを見て選ばない
• 流量が一定の問題で、内径を1乗で考える。 内径が半分で流速は4倍、λ が同じとみなせるとき、損失は32倍
• 呼び径を内径として使う。 計算に使うのは内径
• λ を定数と思う。 層流では 64/Re。ただし、その 64/Re を乱流に使わない

冒頭の問いの答え合わせ

直管で圧力が下がる理由。 壁に付着した流体が遅らされ、隣り合う層との粘性のずれで、流れを遅らせる摩擦応力が壁に働く。流速を保つには、その分を圧力の差で押し続けなければならない。内径が一定でも、失われる力学的エネルギーの分だけ、全水頭は流れの向きに減る。水が速く流れるほど先で足りなくなるのは、壁の摩擦応力が流速とともに増え（層流で1乗、粗さが支配する乱流でほぼ2乗）、それとつり合う圧力差も増えるからだ。

内径を半分にすると。 $\lambda$ が同じとみなせるなら32倍（流速が4倍、その2乗で16倍、内径が半分で2倍）。商業鋼管で 4 L/s を送る実際の計算でも、約31倍だった。管を細くする節約は、ポンプの圧力と動力となって、運転のあいだ返ってくる。

次の問い

ここまでは、配管が要求する圧力を求めた。実揚程と、流量の2乗に比例する損失（λ が一定とみなせるとき）を足したものだ。では、ポンプが出せる揚程は、流量が変わっても同じなのか。配管が要求する揚程と、ポンプが出せる揚程は、どこで釣り合い、そこから外れると何が起きるのか。次のトピック（ポンプと送風機）で、特性曲線と運転点を読む。